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© Horst Hübel Würzburg 2005 - 2015

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  Definition der Spannung sinngemäß nach DIN 1324

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Die allgemeine Spannungsdefinition umfasst sowohl die Definition einer wegunabhängigen Spannung (Potenzialdifferenz) als auch die Definition einer Ringspannung. Spannung lässt sich in jedem Fall definieren mit Hilfe der Verschiebungsarbeit W durch die elektromagnetische Feldkraft F  bei Verschiebung einer Ladung Q von einem Punkt P1 zum Punkt P2. (Damit dabei das vorhandene elektrische Feld nicht verändert wird, verwendet man meistens eine kleine Probeladung Q.)

Eine alternative Definition verwendet eine äußere Kraft Fext gegen die Feldkraft (Fext = - F).

Allgemein wird sinngemäß durch DIN 1324 Teil 2 definiert:

Wenn eine elektromagnetische Kraft ("Feldkraft") beim Transport einer Ladung Q vom Punkt P1 zum Punkt P2 eine Arbeit W12 verrichtet, dann soll an P2 im Vergleich zu P1 eine Spannung

                                   U = U12  = W12  / Q  .............                        

herrschen. Üblicherweise spricht man von einer Spannung zwischen den Punkten 1 und 2.

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Die elektromagnetische Feldkraft ist häufig eine elektrische Kraft F. Es gibt jedoch auch Fälle, wo zu F auch die magnetische Lorentz-Kraft beiträgt. Es gilt also:

                                 2                  
  U 12 =   W12 / Q =  ∫
 F · dl /Q  
 ................................1                        

Spannung ist damit so etwas wie "spezifische Arbeit", also Arbeit pro Ladungseinheit, Arbeit, die vom Feld verrichtet wird. Sie ist eine Folge des herrschenden elektromagnetischen Feldes.

Bei Verschiebung durch eine elektrische Kraft F = Q·E gilt

                                 2                     2 ........................ .2
  U 12 =   W12 / Q =  ∫
 F · dl /Q  =  ∫ Q · E · dl /Q =   ∫  E · dl
                                 1                     1
...................... ..1

Das Linienintegral der elektrischen Feldstärke, das von einem Anfangspunkt 1 zu einem Endpunkt 2 einer Wegkurve s erstreckt wird, heißt elektrische Spannung längs dieses Weges (an der Stelle 2 im Vergleich zur Stelle 1, oder kurz: "Spannung zwischen 1 und 2"):

                 2
  U 12 =     ∫
 E · dl    
                 1

Liegt der Punkt P1 auf dem positiven Pol, Punkt P2.auf dem negativen, dann ist das elektrische Feld in Richtung des Integrationswegs orientiert und es ergibt sich eine positive Spannung.

Falls bei der Verschiebung auf beliebigen Wegen von 1 nach 2 sich stets die gleiche Spannung ergibt, liegt ein Potenzialfeld vor. Man nennt es auch wirbelfrei. Dann kann eine Potenzialdifferenz des Punktes P2 im Vergleich zu Punkt P1 definiert werden. Zur Definition eines elektrischen Potenzials wird ein beliebiger P0 als Bezugspunkt festgelegt. Dann ordnet man dem Punkt P2 ein Potenzial φ zu durch:

                 2
  φ02 =   -   ∫ E · dl    
                 0

Wenn der Bezugspunkt P0 auf den negativen Pol gelegt wird, ist das elektrische Feld gegen den Integrationsweg orientiert. Am positiven Pol ist das Potenzial dann positiv, wie es intuitiv sein sollte. Nur, wenn das Wegintegral unabhängig ist vom gewählten Weg, hat es einen Sinn, ein Potenzial zu definieren. Eine Ladung Q am Punkt P2 hat dann im Vergleich zum Punkt P0 die potenzielle Energie:

         Wpot, 02 =   Q · φ02 

Im Vergleich zum negativen Pol hat eine positive Ladung am positiven Pol dann positive potenzielle Energie, wie man es erwartet.

Die Spannung U ist dann das Negative der Potenzialdifferenz von P1 nach P2:

         U12 =   - ( φ02 - φ01 )

In vielen Fällen lässt man die Punkte P1 und P2 zusammenfallen. Im Falle eines Potenzialfelds verschwindet dann das Umlaufsintegral. Übersetzt in Arbeit bedeutet das, dass die auf einem Teilweg verrichtete Arbeit auf einem anderen Teilweg wieder "zurückgegeben" wird. Andernfalls liegt ein Wirbelfeld vor. Die Spannung U heißt in diesem Fall Ringspannung:

            U =     ∫o  F · dl / Q =     ∫o  E · dl     

( ∫o... dl   soll das Umlaufsintegral über einen beliebigen geschlossenen Weg sein.)

Beim Transport der Ladung Q auf dem geschlossenen Weg wird also nichtverschwindende Arbeit verrichtet, ganz anders als in einem Potenzialfeld! Das ist z.B. typisch für eine Induktionsschleife.

Die Definition über die Arbeit pro Ladungseinheit lässt also offen, ob es sich um eine wegunabhängige Spannung handelt (bzw. eine Potenzialdifferenz) oder eine wegabhängige Spannung wie in den Fällen, wo eine nicht verschwindende Ringspannung (Umlaufspannung) vorliegt, z.B. bei der Induktion.

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Wichtige Anwendungsfälle in der Schulphysik (vor allem elektromagnetische Induktion, streng genommen auch der stationäre Strom in einem geschlossenen Gleichstromkreis, hier aber weniger wichtig) beruhen gerade auf dem elektrischen Wirbelfeld. Eventuelle überlagerte Potenzialfelder spielen in diesen Fällen keinerlei energetische Rolle, weil ihr Beitrag zur Ringspannung gerade 0 ist und beim Umlaufsintegral immer herausfällt.

.In einem bestimmten Bezugssystem können bei der elektromagnetischen Induktion zwei Anteile zur Verschiebungsarbeit einer Ladung Q auf einem geschlossenen Weg beitragen:

1. der Anteil durch das bei der Induktion entstehende elektrische Wirbelfeld E mit rot E = - ∂B/∂t infolge der zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte B

2. der Anteil durch die Lorentzkraft Q · v x B

Der Anteil durch die Lorentzkraft spielt z.B. eine Rolle, wenn sich Teile der geschlossenen Kurve mit der Geschwindigkeit v im gewählten Bezugssystem nicht parallel zu B bewegen, z.B. bei der Aufweitung der geschlossenen Kurve.

Deswegen definiert DIN 1324 Teil 2 eine induzierte Spannung Ui (eine Ringspannung) längs einer geschlossenen Leiterschleife mit den Längenelementen dl mit den zwei Anteilen gemäß:

        Ui = -  ∫AB/∂t · dA + o ( v x B) dl  = - dΦ/dt

deren Längenelemente dl im Bezugssystem von B die lokale Geschwindigkeit v haben und mit den Flächenelementen dA ein Rechtsschraubensystem bilden. Eine solche Induktionsspannnung ergibt sich direkt aus der Definition über die Arbeit pro Ladungseinheit, wenn beide Anteile zur Arbeit durch elektromagnetische Kräfte zugelassen werden.

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Bei Verwendung einer äußeren Kraft Fext muss eingeschränkt werden, dass diese nur gegen die Feldkraft F arbeiten soll, dass sie nicht etwa noch zusätzliche kinetische Energie zuführen soll. Dann sind beide Kräfte entgegengesetzt gleich und es gilt: Fext = - F. Damit wird dann:

............................................1...........................1                     2
  U 12 =   Wext,21 / Q =  ∫
 Fext · dl /Q  = -  ∫ F · dl /Q =   ∫  F · dl
............................................2 ..........................2                     1

, wie oben. Alle übrigen Definition gelten sinngemäß weiter.


  *) Das Zeichen ∫o... dl   steht für ein Umlaufsintegral über eine geschlossene Kurve.

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Für einen Gleichstromkreis mit einer Batterie und einem Gesamtwiderstand R gilt für die Ringspannung U (unter gewissen vereinfachenden Bedingungen für die Stromdichte):

U = ∫o E(e)·ds  = R · I  

U = ∫o E(e)·ds  = ∫a E·ds

Der erste Teil der Gleichung zeigt, wie die Stromstärke durch den Gesamtwiderstand R und die durch die "eingeprägte Feldstärke" E(e) bestimmte Ringspannung U festgelegt ist, der zweite Teil der Gleichung entspricht (nach Multiplikation mit einer Ladung Q) dem Energiesatz. Danach wird beim Transport einer Ladung Q durch den geschlossenen Stromkreis dieser Ladung Q eine Energie ......Q·∫o E(e)·ds...... mitgegeben, die durch die eingeprägte Feldstärke bestimmt ist. Diese ist gleich der im Außenteil des Stromkreises verrrichteten Arbeit ......Q·∫a E·ds ...... (gegen die dissipativen Kräfte in den Widerständen). (Vgl. EMK oder Oberflächenladungen)

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.( Mai 2015 )