Elastische Stöße im Schwerpunktssystem

Im Schwerpunktssystem ist der Gesamtimpuls 0.

Deshalb sind IES und EES im Schwerpunktsystem sehr einfach (eindimensional betrachtet):

Die Rechnung soll hier ein einziges Mal formal durchgeführt werden. Einfache Beispiele lassen sich dann im Kopf lösen.

(1) IES:     p + P = p' + P' = 0

(2) EES:  p²/2m + P²/2M =  p'²/2m + P'²/2M

(1) in (2) liefert:

                    p² (1/2m + 1/2M) =   p'² (1/2m + 1/2M)

oder            p² =   p'²  mit den beiden Lösungen

p = p' und p = -p'.

Die erste Lösung entspricht keinem Stoß, die zweite einer Richtungsumkehr unter Beibehaltung des Impulsbetrags. Der zweiten Lösung entspricht auch P = -P'.

Man kann sich also merken:

Beim elastischen Stoß im Schwerpunktssystem kehren sich beide Impulse um.

Die Arbeit des Schülers besteht nur noch darin die Geschwindigkeit v_S des Schwerpunkts zu ermitteln und in das Laborsystem zurückzutransformieren.  Der Schwerpunkt ist dadurch gekennzeichnet,  dass man sich in ihm die gesamte Masse konzentriert denken kann. Der Schwerpunktsimpuls entspricht also dem Gesamtimpuls im Laborsystem. Es gilt daher:

             P_S = p_L + P_L,       also      (m+M) v_S = mv_L + MV_L,      und damit

             v_S = (mv_L + MV_L)/(m+M)

Der Index L kennzeichnet dabei die Werte im Laborsystem. In der Regel (und bei einfachen Werten) wird man die Schwerpunktsgeschwindigkeit erraten.

Mit v'_L = v ' + v_S   und V'_L = V' + v_S   erfolgt die Rücktransformation ins Laborsystem.

So einfach die Algebra dieses Verfahrens ist, und damit auch das Verständnis für die Schüler, so schwierig ist wohl für die Schüler der Wechsel des Koordinatensystems.

Auf jeden Fall sollten nach der Rücktransformation Impuls- und Energieerhaltung auch im Laborsystem überprüft werden.

Zahlenbeispiele:

1. Beispiel: gleiche Massen  vL = 2 m/s     VL = - 4 m/s Eigentlich kommt man ohne Rechnung aus. Man kann sich alle Werte an der Zeichnung überlegen. Dann muss die Schwerpunktsgeschwindigkeit sein: vS = - 1 m/s ; die Rechnung hätte das gleiche geliefert: vS = (m .vL+ m .VL)/2m = (vL+VL)/2 = - 1 m/s: Relativ zum Schwerpunkt gelten also die Geschwindigkeiten v = 3 m/s und V = -3 m/s, und dann auch v' = - 3 m/s und V' = 3 m/s. (Gesamtimpuls  im SPS = 0!) Daraus ergeben sich die Geschwindigkeiten im Laborsystem: vL' = vS + v' = - 4 m/s und VL' = vS + V' = 2 m/s:   Beide Körper "tauschen" ihre Geschwindigkeiten aus.

2. Beispiel: M = 2m vL = 2 m/s  VL = - 4 m/s Man kann fast schon raten, was dann die Schwerpunkts-Geschwindigkeit ist:   vS = (m.vL+ 2mVL)/3m = (vL+2VL)/3 = - 2 m/s Vor dem  Stoß gilt  im Schwerpunktssystem :    v = vL - vS =  4 m/s   und  V = VL - vS = -  2 m/s. (Gesamtimpuls im SPS = 0!) Nach dem Stoß im Schwerpunktsystem:    v' = - v  = - 4 m/s und V' = - V   = 2 m/s Dementsprechend betragen die Geschwindigkeiten nach dem Stoß im Laborsystem: vL' = vS + v' = - 6 m/s und VL' = vS + V' = 0 m/s: Der Körper mit der Masse m  trägt jetzt den gesamten Impuls nach dem Stoß in negative Richtung, also in die Richtung, die die größeren Masse vor dem Stoß  hatte, die auch noch schneller war und den deutlich überwiegenden Impuls hatte. Die ausschließliche Rechnung im Laborsystem hätte das gleiche geliefert.