Startseite FORPHYS

Physik für Schülerinnen und Schüler

Hebelgesetz und Drehmoment

© H. Hübel Würzburg 2013

Empfohlene Glossarthemen:

Verschiebungsarbeit

Kraft

Drehmoment

Glossar zur Physik für Schülerinnen und Schüler

Physik für Schülerinnen und Schüler

.
NEU Physikalische Schülerversuche mit PC und Mikroprozessor, 2. Auflage, im Buchhandel erschienen

1. Kräfte reichen nicht!

Versuch:

Spanne eine lange, relativ steife Blattfeder oder ein Lineal an einem Ende waagrecht ein. Das zweite Ende soll vor einer Skala (vertikal aufgestelltes Lineal) spielen können. Bringe in jeweils gleichen Abständen (z.B. 10 cm) Marken an, indem du dort kleine Schlaufen aus einem Schnurstück mit Tesafilm befestigst.

a) Hänge nun das eine Gewichtsstück in eine Schlaufe nach der anderen ein und beobachte die Verformung der Blattfeder.

b) Hänge nun in 10 cm Abstand von der Klemme ein Gewichtsstück von 30 g Masse. Wo musst du ein Gewichtsstück mit 10 g Masse einhängen, damit die gleiche Verformung der Blattfeder entsteht?

Abb. 1: Eine Feder verformt sich unterschiedlich je nach Größe und Angriffspunkt der wirkenden Kraft

Die Versuche zeigen: Offenbar hängt die Verformung nicht nur von der Kraft, sondern auch von ihrem Angriffspunkt P ab. Genauer: Sie hängt nicht nur von der Größe der Kraft ab, sondern auch vom Abstand  r ihres Drehpunkts D von der Wirkungslinie der Kraft. Offenbar erfolgt die gleiche Wirkung, wenn das Produkt von Kraft F und Abstand r den gleichen Wert hat.
Abb. 2: Drehmoment aus Kraft F und Kraftarm r

Offenbar spielt hier eine neue Größe eine Rolle, die das Drehmoment M genannt wird. Das Drehmoment M ist definiert als das Produkt von Kraft F und Kraftarm r.

       M = F·r      

(Beachte die sprachliche Besonderheit: Man sagt "der Zeitmoment", aber "das Drehmoment".) Die Einheit des Drehmoments ist 1 N·m, genauso wie bei der Arbeit. Begrifflich haben Drehmoment und Arbeit aber nichts gemein. Der Name Drehmoment ergibt sich aus der Tatsache, dass ein Drehmoment an einem Körper, der um eine Achse frei drehbar ist, eine beschleunigte Drehbewegung hervorruft. Dementsprechend spricht man von einem linksdrehenden Drehmoment, wenn das Drehmoment einen ruhenden Körper in eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn versetzt, und von einem rechtsdrehenden Drehmoment, wenn das Drehmoment einen ruhenden Körper in eine Drehung im Uhrzeigersinn versetzt.

Linksdrehung: entgegen dem Uhrzeigersinn   -   Rechtsdrehung: im Uhrzeigersinn

Manchmal wirken auf einen Körper zwei entgegengesetzte Drehmomente: ein linksdrehendes und ein rechtsdrehendes. Einen solchen Körper nennt man üblicherweise einen Hebel. Die Kraftarme heißen dann Hebelarme.

Wenn an einer rotierenden Scheibe oder Welle mit dem Radius r ein Drehmoment M wirkt, bedeutet das, dass am Umfang eine Kraft F = M/r tangential wirkt. Diese Kraft ist umso größer, je kleiner der Radius ist.

**) Mit Recht geben Fachleute dem Drehmoment in der Situation von Abb. 1 lieber den Namen Biegemoment.


2. Drehmomente bei Motoren

Auch bei Motoren ist das bei einer bestimmten Drehzahl erreichbare Drehmoment eine wichtige Kenngröße. Z.B. kann ein Dieselmotor eines PKW bei 1500 Umdrehungen pro Minute ein Drehmoment von ca. 300 N·m entwickeln. Das macht indirekt eine Aussage darüber, mit welcher Kraft der PKW bei dieser Drehzahl angetrieben wird. Wäre auf die Motorwelle ein Zahnrad oder eine Seilscheibe mit 1 m Radius aufgesetzt, würde am Umfang eine Kraft von 300 N entstehen. Liefe über die Seilscheibe ein Seil mit einem Gewicht, dann könnte der Motor bei diesem Drehmoment eine Last von 300 N gegen die Schwerkraft heben (naja, das ginge wegen der beträchtlichen Drehzahl des Motors unrealistisch schnell). Bei einem kleineren Hebelarm r ist die bei gleichem Drehmoment erreichbare Kraft entsprechend größer, also bei  r = 1 cm statt 1 m (1/100) wäre die Kraft schon 30 000 N (100fach)! Das Drehmoment ist bei Drehungen eine zweckmäßigere Größe als eine Kraft, weil es unabhängig vom Radius von Wellen oder Zahnrädern, z.B. im Getriebe, ist. Wie du später sehen wirst, dient ein Getriebe dazu, die Kraft am Umfang seiner Zahnräder und die Umdrehungszahl zu ändern. Es arbeitet als Kraft-Wandler und als Drehmomenten-Wandler).

Abb. 3: Drehmoment und Leistung in Abhängigkeit von der Drehzahl bei Motor A

In den Abbildungen werden Drehmoment M (blau) und Leistung P (rot) bei einem Motorrad-Motor und einem Dieselmotor von einem PKW verglichen. Sie erreichen beide etwa die gleiche Maximalleistung von ca. 100 kW. Beide Angaben (M und P) sind wichtig für die Beurteilung der Leistungsfähigkeit.

Einige Anforderungen an einen Fahrzeug-Motor:

(1) Beim Anfahren, also bei kleinen Drehzahlen, soll er große Beschleunigung ermöglichen. Das ist erreichbar durch möglichst großes Drehmoment oder durch möglichst kleine Fahrzeugmasse.

(2) Beim Schnellfahren, also bei großen Drehzahlen, soll er möglichst große Leistung erreichen. (Diese ist bei beiden Motoren etwa gleich, da dieses Ziel erreichbar ist durch großes Drehmoment oder hohe Drehzahl.)

(3) Beim Beschleunigen zu hohen Geschwindigkeiten soll der Motor: große "Flexibilität" haben, d.h. über einen weiten Drehzahlbereich hinweg soll die Leistung zunehmen. Das ist eventuell nur in bestimmten Drehzahlbereichen zu realisieren. Wenn die gleiche Leistungszunahme bei einer geringeren Änderung der Drehzahl erreichbar ist, ermöglicht das schaltfauleres Fahren. Wenn sich eine Leistungssteigerung nur durch eine sehr starke Änderung der Drehzahl erreichen lässt, erfordert das häufiges Schalten in einen höheren Gang.

(4) Beim Überholen: Trotz relativ hoher Geschwindigkeit soll eine weitere Leistungssteigerung möglich sein. Auch das unterstützt schaltfaules Fahren, evtl. aber wieder nur in bestimmten Drehzahlbereichen.

Abb. 4: Drehmoment und Leistung in Abhängigkeit von der Drehzahl bei Motor B Beide Zeichnungen schematisch nach http://www.kfz-tech.de/DrehmomentM.htm

Beurteile nach den Diagrammen, wie die einzelnen Punkte bei den beiden Motoren berücksichtigt sind.

Entscheide damit, welcher Motor eher für ein Motorrad , welcher eher für einen PKW in Frage käme!


3. Hebel

Im Idealfall ist ein Hebel in einem Punkt so unterstützt oder hat eine solche Achse, dass die Schwerkraft auf den Hebel allein ihn nicht in Drehung versetzen kann. Durch die Wahl dieses Drehpunkts D hat man dafür gesorgt, dass keine links- und rechtsdrehenden Drehmomente durch die Schwerkraft auf den Hebel entstehen. Sie können ihn also weder in eine Links- noch in eine Rechtsdrehung versetzen. Diesen Punkt nennt man den Schwerpunkt S des Hebels. Der sonst unbelastete Hebel bleibt dann in jeder Lage stehen, in die man ihn versetzt.

Ein Hebel kann die unterschiedlichsten Formen haben, die einer langen Stange (gerader Hebel), eines geknickten Hebels, eines einseitigen Hebels, einer Scheibe, bei der die Achse durch ihr Zentrum geht, oder ganz beliebige Form. Wichtig ist nur, dass die Achse durch den Schwerpunkt geht, den man evtl. erst mühsam suchen muss. Wenn ein ruhender Hebel trotz zwei oder mehr Drehmomenten keine Drehung beginnt, sagt man, er sei "im Gleichgewicht".

Versuch:

Verwende einen geraden, horizontal gestellten Hebel, bringe an einem seiner Arme ein Gewichtsstück an, auf das die Kraft G wirkt. Der Hebelarm sei a. Erzeuge mit einem Kraftmesser.auf der anderen Seite des Drehpunkts D ein entgegengesetztes Drehmoment, bis schließlich der Hebel im Gleichgewicht (und immer noch horizontal) ist. Du ziehst dabei mit einer Kraft F nach unten; zum Angriffspunkt dieser Kraft gehört der Hebelarm b. Dazu gibt es verschiedene Kraft - Kraftarm - Kombinationen (F-b-Kombinationen).

Ergebnis:

Ganz gleich, welcher Kraftarm b rechts gewählt wird, Gleichgewicht herrscht immer dann, wenn das linksdrehende Drehmoment den gleichen Betrag wie das rechtsdrehende Drehmoment hat.

Abb. 5: Durch Zug an dem Kraftmesser rechts wird Gleichgewicht hergestellt Dabei gehört zum längeren Hebelarm die kleinere Kraft, zum kürzeren Hebelarm die größere Kraft. Aus einer kleinen Kraft kann eine große gemacht werden und umgekehrt.

Ein Hebel ist ein Kraft-Wandler.

Deshalb spricht man - im Unterschied zum Kräftegleichgewicht (KGG) - vom Drehmomenten-Gleichgewicht (DGG).


4. Wie ist der Hebelarm definiert?

Versuch:

Ein beliebig geformter Hebel habe eine Achse (bei D), die durch den Schwerpunkt S geht. Wenn  er einseitig durch ein Gewicht G1 belastet ist, kann er durch ein Zusatzgewicht G2 bezüglich des Drehpunktes D ins Gleichgewicht gebracht werden. Dazu sind verschiedene Angriffspunkte P1, P2, ... (z.B. mit Hilfe von eingeschlagenen Nägeln) vorgesehen, die alle längs der Wirkungslinie der Gewichtskraft G2 verteilt sind.

Wenn es einmal gelungen ist, Drehmomentengleichgewicht herzustellen, kann man längs dieser Wirkungslinie den Angriffspunkt beliebig verändern, ohne dass das DGG verloren geht.

Das ist so, obwohl für jeden dieser Angriffspunkte P1, P2, ... der Abstand zum Drehpunkt D (rot, gestrichelt) unterschiedlich ist. Der Abstand des Drehpunkts D von der Wirkungslinie der Kraft (grün) ist aber stets unverändert.

Ergebnis:

In das Drehmoment geht nicht der Abstand P des Angriffspunkts der Kraft vom Drehpunkt D ein, sondern der Abstand des Drehpunkts D von der Wirkungslinie der Kraft. Dieser Abstand heißt Hebelarm, manchmal auch Kraftarm, manchmal auch Lastarm.

Abb. 6: Drehmomenten-Gleichgewicht trotz unterschiedlicher Angriffspunkte der Kraft, wenn diese auf der Wirkungslinie der Kraft liegen.


5. Drehmomenten-Gleichgewicht am Hebel - das Hebelgesetz

Bisher hast du schon erfahren: Drehmomenten-Gleichgewicht am Hebel herrscht, wenn das linksdrehende Drehmoment von gleichem Betrag wie das rechtsdrehende Drehmoment ist. Das lässt sich unterschiedlich realisieren.

Abb. 7: Zweiseitiger Hebel mit einem links- und einem rechtsdrehenden Drehmoment Abb. 8: Zweiseitiger Hebel mit einem links- und einem rechtsdrehenden Drehmoment
Abb. 9: Einseitiger Hebel mit einem links- und einem rechtsdrehenden Drehmoment. Das Eigengewicht des Hebels G, das am Schwerpunkt des Hebels angreift, ist hier nicht berücksichtigt. Abb. 10: Einseitiger Hebel mit zwei links- und einem rechtsdrehenden Drehmoment: Das Eigengewicht des Hebels G, das am Schwerpunkt des Hebels angreift, ist hier berücksichtigt.

Wenn mehr als ein links- oder rechtsdrehendes Drehmoment auftritt, lässt sich das Hebelgesetz leicht erweitern:

Drehmomenten-Gleichgewicht (DGG) herrscht, wenn die Summe der linksdrehenden von gleichem Betrag wie die Summe der rechtsdrehenden Drehmomente ist.

Auch das Eigengewicht eines Hebels kann zum Drehmoment beitragen, wenn der Hebel nicht im Schwerpunkt S aufgehängt oder unterstützt ist. Es ergibt sich also eine beträchtliche Vereinfachung, wenn der Drehpunkt in den Schwerpunkt gelegt werden kann.

Ob eine Kraft ein links- oder ein rechtsdrehendes Drehmoment erzeugt, kannst du mit deiner rechten Hand leicht entscheiden: Setze deine rechte Hand so auf die Zeichnung, dass der Daumen auf der Drehachse sitzt, und dass die übrigen Finger die Drehrichtung anzeigen, in die das Drehmoment den ruhenden Hebel versetzen würde. Zeigt der Daumen auf dich zu, liegt ein linksdrehenden Drehmoment vor (Gegenuhrzeigersinn). Zeigt er von dir weg, liegt ein rechtsdrehendes Drehmoment vor (Uhrzeigersinn).


6. Anwendungen von Drehmomenten

1. Drehmomentenschlüssel

Z.B. bei Radmuttern, mit denen die Räder eines PKWs befestigt werden, entsteht immer ein Problem: Sie müssen genügend fest gezogen werden, damit sich das Rad im Betrieb nicht lösen kann, aber sie müssen sich beim nächsten Radwechsel mit erträglichem Aufwand auch wieder lösen lassen.

Ich erinnere mich, bei meinem ersten PKW, einem alten VW-Käfer, die Räder immer selbst montiert zu haben. Zum Bordwerkzeug gehörte ein einfacher Radmutternschlüssel mit einem Hebelarm von ca. 30 cm. Damit die Radmuttern ja recht fest saßen, wurde mir geraten, den Hebelarm z.B. durch ein Stück Rohr zu verlängern. Das erhöhte dann aber auch die Schwierigkeit, die festgerostete Radmutter in der nächsten Saison wieder zu lösen. Oft half dann nur wieder das Rohrstück und das Körpergewicht. Zum Glück habe ich damals weder eine Radmutter noch die Radaufhängung beschädigt.

So unprofessionell sollte man nicht vorgehen. Die Hersteller schreiben ein ganz bestimmtes Drehmoment vor, mit dem die Radmuttern angezogen werden sollten. Damit dieses nicht überschritten wird, gibt es einstellbare Drehmomentenschlüssel. Würde durch verlängerten Hebelarm oder größere Kraft das eingestellte maximale Drehmoment überschritten, gäbe eine Rutschkupplung nach und weder Radmutter noch Radaufhängung wären gefährdet.

Häufig werden auch Druckluftschrauber eingesetzt, bei denen sich das maximale Drehmoment ebenfalls grob einstellen lässt.

2. Das Wellrad

Die Grundform des Wellrads besteht aus zwei fest miteinander verbundenen Seilscheiben auf gemeinsamer Achse, auf die je ein Seil aufgewickelt ist. An jedem Seilende hängt ein Massestück oder wird mit einer Kraft gezogen.

Hier gilt DGG:

F'·R = F·r  bzw. F' = F · r/R

Weil r<R ist F'<F.

Es handelt sich um einen Kraft-Wandler. Man muss z.B. mit der kleineren Kraft F' ziehen um eine Last F zu heben. Wie beim Flaschenzug erkauft man sich die kleinere Zugkraft durch einen verlängerten Kraftweg.

Abb. 11: Grundtyp eines Wellrads
3. Das Getriebe

(a) Basis jeden Getriebes sind ineinander greifende Zahnräder auf mindestens zwei Achsen

Das erste Zahnrad habe m Zähne, das zweite n Zähne (n < m). Wenn sich das erste Zahnrad n-mal dreht, dreht sich das zweite m-mal, also viel schneller. Die Drehzahl wird im Verhältnis m/n heraufgesetzt. Umgekehrt muss vom ersten Zahnrad der Radius (grob gesagt) m/n-mal größer als der des zweiten Zahnrads sein.

F1 und F2 seien die Kräfte sind, die tangential an den Zähnen des jeweiligen Zahnrads wirken

Trotz der n bzw. m Umdrehungen pro Zeiteinheit  legt ein Punkt auf dem Umfang beider Zahnräder den gleichen Weg zurück (die Zahnräder greifen ja ineinander ein). Dementsprechend müssen auch die Tangentialkräfte F1 und F2 gleich sein (gleiche Arbeit). Am Zahnrad 2 entsteht ein kleineres Drehmoment  (F2.r) als an Zahnrad 1. Das Drehmoment wird im Verhältnis n/m herabgesetzt (F2.r = n/m F1 .R). Zum kleineren Zahnrad gehört ein kleineres Drehmoment.

Durch ein Paar von Zahnrädern mit m bzw. n Zähnen (m > n) wird die Drehzahl im Verhältnis m/n herauf und das Drehmoment im Verhältnis n/m herabgesetzt. Das Paar von ineinander eingreifenden Zahnrädern bildet einen Drehmomenten-Wandler.

Das gilt auch, wenn die beiden Zahnräder durch eine Kette oder zwei Räder durch einen Riemen miteinander verbunden sind.

Abb. 12: Schematische Darstellung von zwei ineinander greifenden Zahnrädern; jedem Maschinenbauer würde es wegen der Fehler der Zeichnung den Magen umdrehen.
(b) Falls das zweite Zahnrad mehr Zähne n als das erste hat (n > m) wird das Drehmoment herauf gesetzt, allerdings auf Kosten der Drehzahl.

Verbindet man das zweite Zahnrad fest mit einem Zahnrad mit wenig Zähnen m' (beide Zahnräder auf gleicher Welle; m'< n), dann gilt dort DGG und am 3. Zahnrad entsteht eine große Kraft F2', die nun an ein 4. Zahnrad weitergeben werden kann, so dass dort ein noch größeres Drehmoment entsteht.

(c) Durch mehrere Zahnradpaare lässt sich so das Drehmoment beträchtlich herauf  setzen. Die Drehzahl nimmt dabei immer weiter ab.

Beim PKW-Getriebe erzeugt man so im 1. Gang ein sehr großes Drehmoment an der angetriebenen Achse bei geringer Drehzahl. Im 5. Gang erzeugt man durch die "Übersetzung" ein relativ kleines Drehmoment an der angetriebenen Achse bei hoher Drehzahl.

Allgemein gilt:

Bei ineinander greifenden Zahnrädern, Riemenantrieben und Ketten gilt das Hebelgesetz  (Drehmomenten-Gleichgewicht) nicht. Sie sind Drehmomenten-Wandler.

Abb. 13: Prinzip des Fahrradantriebs mit Pedalen, zwei Zahnrädern, Kette und Hinterrad

4. Fahrradantrieb

 (a) Wir wollen uns jetzt einmal überlegen, wie ein Fahrrad zu dimensionieren ist. Vorausgesetzt wird ein Pedalantrieb, der über eine Kette das Hinterrad antreibt.

Bei menschlichen Beinlängen ist eine Kurbellänge von R = 16 cm geeignet, d.h. die Pedale laufen auf einem Kreis von 16 cm Radius und 1 m Umfang.

Bei einer Geschwindigkeit v = 18 km/h = 5 m/s soll also ein Punkt auf dem Umfang des Hinterrads in 1 s einen Weg von 5 m zurücklegen. Bei k dafür benötigten Umdrehungen gehört wegen des Umfangs u = 2·π·r2  bzw. r2 = 5m/k  1/2·π = 0,8 m  1/k dazu. Nehmen wir an, dass das Hinterrads für 5 m 2,5 Umdrehungen in 1 s. braucht . Dazu gehört ein Radius 0,8 m /2,5 = 0,32 m. Mit den Pedalen sind 2,5 U/s bzw. 150 U/min nicht zu schaffen. Zumutbar sind 30 Umdrehungen pro min bzw. 0,5 Umdrehungen pro s. Wir müssen für eine Übersetzung von 0,5 U/s auf 2,5 U/s sorgen.

(b) Also: bei einer Umdrehung des Pedalkranzes dreht sich dann das Hinterrad 5 mal und legt dabei den Weg 10 m zurück. Bei einem Radius von 16 cm beträgt dabei der Pedalweg 1 m.

Weil die gesamte am Hinterrad verrichtete Arbeit gleich der von den Beinen im Pedal verrichteten Arbeit sein muss, folgt also sofort, dass die Kraft F2 am Hinterrad den Bruchteil 1 m / 10 m der Pedalkraft sein muss, bei 100 N Pedalkraft also nur 10 N Antriebskraft!

Wie wird das im Einzelnen erreicht?  

Um die Übersetzung von 1:5 beim Kettenantrieb hinzubekommen muss das Zahnrad am Pedal 5 mal mehr Zähne als beim Hinterrad haben. Damit die Zähne überall in die Kette passen, müssen sie (grob gesagt) alle gleich breit sein und gleiche Abstände haben. Deshalb muss auch für die Radien r1/r = 1/5 gelten (Übersetzungsverhältnis uv = 1/5). Daraus ergibt sich für das Zahnrad am Hinterrad z.B. r1 = 12 cm 1/5 = 2,4 cm.

Die Kette und die zwei Zahnräder, über die sie läuft, transportiert die Kraft F' ans Hinterrad. Sie wirkt als Drehmomenten-Wandler, weil F' am Hinterrad ein kleineres Drehmoment erzeugt (F'·r1) als am Pedalzahnrad (F'·r). Auch dafür ist das Übersetzungsverhältnis zuständig:  (F'·r1) /(F'·r) = uv.

(c) Überprüfen wir die Vermutung der geringen Kraft am Hinterrad (10 N):

Am Pedal setzen wir das DGG ein:

F·R = F'·r => F' = F · R/r .

F' wird verlustslos durch die Kette an das Zahnrad des Hinterrads transportiert, wodurch dort ein Drehmoment F'·r1 entsteht (Kette mit Zahnrädern als Drehmomenten-Wandler). Wieder wird DGG angewendet und wir haben

F'·r1 = F2·r2 bzw. F2 = F R/r · r1/r2 = 100 N · 16/12 · 2,4/32 = 10 N

Mit einem aufgebockten Fahrrad lassen sich die unterschiedliche Kräfte bei Pedal und Hinterrad mit Kraftmessern auch experimentell zeigen.

(d) Das gilt aber auch ganz allgemein:

F2 = F ·R/r · r1/r2 = F ·R/r2 · r1/r = F · R/r2 · uv

und wir bräuchten uns für die Rechnung gar nicht festlegen, wie wir durch die Wahl geeigneter Zahnräder das Übersetzungsverhältnis realisieren wollen.

R ist im Wesentlichen durch die durchschnittliche Beinlänge bestimmt, r2 durch Größe und Einsatzzweck des Fahrrads, das Übersetzungsverhältnis durch die übliche Geschwindigkeit bei bequemer "Tretgeschwindigkeit". Wir sehen also:
Die komplizierte Anordnung von Pedalen, Zahnrädern und Kette dient nicht dazu, eine möglichst große Antriebskraft zu erhalten. Sie dient vielmehr dazu, an menschliche Beinlängen und zumutbare "Tretgeschwindigkeit" angepasst eine vernünftige Fahr-Geschwindigkeit zu erreichen.

(e) Im Berggang muss man  bei gleicher Fahrgeschwindigkeit schneller treten, das weiß jeder Fahrradfahrer. Das Übersetzungsverhältnis uv muss größer werden, z.B. uv = 1/4. Das wird erreicht, indem r1  am Hinterrad größer gewählt wird, z.B.: r1 = r · uv = 12 / 4 = 3 cm. Auf eine Umdrehung des Pedals kommen jetzt 4 Umdrehungen des Hinterrads. Bei einem Pedalweg von 1 m wird ein Weg von 8 m zurückgelegt. Dazu steht die Kraft 100 N ·1/8 = 12, 5 N zur Verfügung. Mit der größeren Kraft lässt sich die Steigung leichter überwinden, bei einer Pedalumdrehung kommt das Fahrrad aber weniger weit voran (8 m) als im Normalgang (10 m).


6. Bewegungen unter dem Einfluss eines Drehmoments

Wenn eine Kraft auf eine punktförmige Masse (einen Massenpunkt) einwirkt, beeinflusst sie dessen Bewegung. Aber eine Kraft bewegt keinen Körper! Vielmehr ändert sie seinen Bewegungszustand. Ein bewegter Körper wird durch die Einwirkung einer Kraft schneller oder langsamer oder er ändert seine Richtung.

Jetzt gibt es aber angeblich linksdrehende und rechtsdrehende Drehmomente!? Dreht etwa ein Drehmoment einen ausgedehnten Körper nach links oder nach rechts? Und wenn dann das Drehmoment plötzlich aufhört, bleibt dann etwa der ausgedehnte Körper stehen? Holen wir ein Schulbuch zu Hilfe.


Abb. 14: Verschiedene Phasen der Drehbewegung
einer Kreisscheibe, bei der eine fest Kraft F angreift.




In einem der weit verbreiteten Bücher wird folgender Versuch beschrieben: Eine Kreisscheibe, die um ihre Achse leicht drehbar ist, ist mit kleinen Löchern versehen. Dort wird ein Massenstück eingehängt, so dass also ein Drehmoment entsteht. Es heißt dann: "... der Hebel dreht sich solange, bis der Angriffspunkt P der Kraft lotrecht unterhalb der Drehachse liegt. " Später heißt es dann in demselben Buch: "Der Körper kommt in einer Stellung zur Ruhe, in der (das Drehmoment) M gleich Null ist." Das scheint also zu stimmen: Ein rechtsdrehendes Drehmoment erzeugt eine Rechtsdrehung; wenn das Drehmoment wieder verschwindet, kommt der Hebel gleich zur Ruhe.

Ich habe es selbst erlebt, als ein Kollege das in seiner Klasse vorführte. Er gab erst den Lehrbuchtext  wieder. Alle Schülerinnen und Schüler glaubten ihm - der Lehrer und das Lehrbuch können ja schließlich nichts Falsches behaupten. Dann führte er den Versuch vor. Erst Verwunderung, fragende Blicke, dann hämisches Feixen:

Unter dem Einfluss eines rechtsdrehenden Drehmoments hatte sich der Hebel zu drehen begonnen (Abb. 11). So weit in Ordnung. Dann blieb er aber keineswegs stehen, als das Drehmoment null war. Nein, er bewegte sich - wegen seiner Trägheit - über diese Stelle hinaus in einen Bereich, wo sogar ein linksdrehendes Drehmoment entstand, obwohl er sich immer noch in einer Rechtsdrehung befand. Und was machte dieses neue linksdrehende Drehmoment? Keineswegs eine Linksdrehung! Es bremste den Hebel ab, bis schließlich die Rechtsdrehung zum Stillstand gebracht war, dem Startpunkt gegenüber, aber wegen der Reibung nicht ganz so hoch wie dieser. Und,  nachdem der Hebel in dieser gedrehten Position kurz zur Ruhe gekommen war, versetzte ihn das immer noch wirkende linksdrehende Drehmoment in eine Linksdrehung. Im Tiefstpunkt, wo kein Drehmoment wirkte, blieb er wieder nicht stehen, sondern drehte sich wegen seiner Trägheit weiter in Richtung Startposition, so dass ein rechtsdrehendes Drehmoment entstand, obwohl er sich immer noch in einer Linksdrehung befand usw. Erst nachdem der Hebel mehrmals hin und her gependelt war, blieb er schließlich endgültig stehen, tatsächlich im Tiefstpunkt, aber nicht etwa, weil dort kein Drehmoment wirkte, sondern weil die Reibung alle Energie aufgezehrt hatte.

So kannst du also aus diesem einfachen Versuch schließen: Vor langer Zeit, als man die Wirkung von Drehmomenten noch nicht richtig verstanden hatte, hatte man ihnen sehr unpassende Namen gegeben: Ein "linksdrehendes" Drehmoment ruft i.a. keine Linksdrehung hervor, ein "rechtsdrehendes" i.a. keine Rechtsdrehung. Nur, wenn der Hebel anfangs in Ruhe ist, versetzt ihn ein Drehmoment in eine Drehung. Ein ruhender Hebel wird durch ein linksdrehendes Drehmoment allmählich in eine Linksdrehung versetzt. Ein ruhender Hebel wird durch ein rechtsdrehendes Drehmoment allmählich in eine Rechtsdrehung versetzt.

Das ist ähnlich wie bei einer Kraft, die auf einen Massenpunkt wirkt. Kraftrichtung und Bewegungsrichtung stimmen i.a. ja nicht überein. Aber ein ruhender Körper wird durch eine nach rechts wirkende Kraft nach rechts in Bewegung gesetzt, wir sagen, nach rechts beschleunigt. Durch eine nach links wirkende Kraft wird ein ruhender Körper nach links beschleunigt. Ein Massenpunkt, der sich nach rechts bewegt, wird durch eine nach links wirkende Kraft zunächst abgebremst.

Ähnlich hängt ein Drehmoment mit einer beschleunigten Drehbewegung zusammen. Ein linksdrehendes Drehmoment erzeugt eine "Linksdreh-Beschleunigung", ein rechtsdrehendes Drehmoment eine "Rechtsdreh-Beschleunigung". Das sind beides keine offiziellen Namen. Du brauchst sie dir nicht merken, aber du solltest ihren Inhalt verstehen. Ein Versuch soll das genauer erläutern.


7. Das Grundgesetz der Drehbewegung

Versuch:

Als Hebel wird eine "Stufenscheibe"  (Momentenscheibe) verwendet, die um ihr Zentrum leicht drehbar ist. Sie besteht aus zwei oder drei fest miteinander verbundenen Scheiben mit Schnurrillen, alle auf gleicher Achse, aber unterschiedlichen Radien. Beginnen wir mit der kleinsten Scheibe mit dem Radius r. Auf ihr wird ein Faden aufgewickelt, der mit einem Antriebsgewicht von z.B. 0,5 N verbunden ist. Die Achse ist ziemlich hoch waagrecht gelagert. Lässt man das Antriebsgewicht los, fällt es herab und zieht die rotierende Scheibe mit. Ein Sonarmeter schaut von unten auf das entgegenkommende Massenstück und registriert dessen Geschwindigkeit im Laufe der Zeit.

a)  Da das Drehmoment (weitgehend)*) konstant ist, ergibt sich eine linear wachsende Geschwindigkeit v des Massenstücks. Die Beschleunigung (als Steigung des t-v-Graphen) ist konstant und kann durch die Steigung gemessen werden. Es ergibt sich v = a·t, wobei a = konstant. Genauso schnell muss sich aber ein Punkt auf dem Umfang der Scheibe bewegen, z.B. der, bei dem sich die Schnur gerade tangential vom Kreisumfang löst. Die Bahngeschwindigkeit v eines Punktes auf dem Kreisumfang kennen wir also, und es gilt: v = r·ω  = a·t   . Die Bahngeschwindigkeit v eines Punktes auf dem Umfang wächst linear mit der Zeit.

w ist die Winkelgeschwindigkeit. Wenn in 1 s ein Radius einen Winkel von 2·π überstreicht, gilt ω = 2·π./ 1s = 6,28 s-1. Sie hängt mit der Umdrehungszeit T zusammen: ω = 2·π/T , und auch mit der Drehzahl  f = 1/T (Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit). Bei einer Drehzahl von 10 s-1, also  bei 10 Umdrehungen pro Sekunde bzw.  T = 0,1 s, erhalten wir ω = 2·π·1/T = 62,8 s-1). Wenn sich die Winkelgeschwindigkeit ändert, ist das gleichbedeutend mit der Drehzahl. Wenn sich im Zeitabschnitt Δt die Winkelgeschwindigkeit um Δω ändert, liegt eine Winkelbeschleunigung   Dw/Δt vor.

Genau das ist hier der Fall. Im Zeitabschnitt Δt  ändert sich v um Δv = r·Dw = a·Δt. Wir haben also einerseits Δv/Δt = a, andererseits Δω/Δt = a/r.

(Einfacher geht es mit der Zeitableitung. Diese liefert dv/dt = r·dω/dt = a. )

Durch die lineare Beschleunigung a der Antriebsmasse messen wir also die Winkelbeschleunigung Δω/Δt = a/r. Eine Winkelbeschleunigung Δω/Δt =/= 0 liegt vor, wenn sich die Drehzahl (oder auch die Winkelgeschwindigkeit) ändert. Das Vorzeichen der Winkelbeschleunigung hat ähnliche Bedeutung wie das Vorzeichen der linearen Beschleunigung a. Bei einer positiven Winkelbeschleunigung dreht sich - in der Regel - der Körper immer schneller, bei einer negativen Winkelbeschleunigung immer langsamer.

b) Wir verdoppeln die Kraft F und damit das Drehmoment M: Die Winkelbeschleunigung Δω/Δt wird ebenfalls (in guter Näherung)*) verdoppelt.

c) Wir gehen wieder auf den alten Wert von F zurück und wählen die Scheibe mit dem doppelten Radius R. Das Drehmoment ist verdoppelt. Die Messung zeigt, dass dies (in guter Näherung)*) doppelte Winkelbeschleunigung zur Folge hat.

d) Bei drei Stufenscheiben und unterschiedlichen Antriebskräften lassen sich noch weitere Drehmomente erzeugen. Stets folgt: n-faches Drehmoment hat bei sonst unverändertem Hebel (in guter Näherung)*)   n-fache Winkelbeschleunigung Δω/Δt zur Folge.

*) Das gilt, solange das Trägheitsmoment so gut wie konstant ist. Leider trägt zu diesem auch die Antriebsmasse bei, so dass die Näherung nur dann gut ist, wenn die Antriebsmasse << als die Masse der Stufenscheibe ist.

Abb. 15: Registrierung der Drehgeschwindigkeit und dann der Beschleunigung dabei mit einem Sonarmeter. Das Sonarmeter ist mit einem Messinterface verbunden, das auf dem PC-Bildschirm z.B. die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit darstellt.

Ein Drehmoment ist also proportional zu einer Winkelbeschleunigung Δω/Δt . Die Proportionalitätskonstante wird (das) Trägheitsmoment Θ (theta) genannt. Es hängt von Masse und Form des Körpers ab. Es gilt also

    M = Θ · Δω/Δt    

und wir verstehen jetzt, was ein Drehmoment ist:

                    Ein Drehmoment M ist bei einem drehbarem Hebel die Ursache für dessen Winkelbeschleunigung dω/dt .

Diese ist zum Drehmoment M proportional        

Die Winkelbeschleunigung wird statt in der Form Δω/Δt  oft auch als die Zeitableitung von ω geschrieben mit dem Symbol dω/dt  bzw. ω* (gelesen "de omega nach de t" bzw. "omega-Punkt").

    M = Θ · ω*  

Wenn das Drehmoment M = 0 ist, besagt diese Gleichung nur, dass dann auch die Winkelbeschleunigung ω* = 0 ist. Der Körper dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Drehzahl) weiter, oder wenn er vorher in Ruhe war, gar nicht. Diese Gesetzmäßigkeit entspricht dem 2. Gesetz von Newton. [Bei der linearen Bewegung heißt die entsprechende Form des 2. Newtonschen Gesetzes F = m·v*  (v* = a)]. Bei einem Hebel im Gleichgewicht heben sich zwei oder mehr Drehmomente gegenseitig auf, so dass das Gesamtdrehmoment 0 ist und gemäß dieser Gesetzmäßigkeit zu keiner Winkelbeschleunigung führen kann. Wir können also gegenüberstellen:

lineare Bewegung

Drehbewegung eines ausgedehnten Körpers

Ohne Kraft keine Veränderung des Bewegungszustands der linearen Bewegung. Das kann man auch als Ausdruck der Trägheit eines (punktförmig angenommenen) Körpers sehen. Ohne Drehmoment keine Veränderung des Bewegungszustands der Drehbewegung. Das kann man auch als Ausdruck der Trägheit eines rotierenden Körpers sehen.
Eine lineare Bewegung benötigt keine (begleitende) Kraft. Eine Drehbewegung benötigt kein (begleitendes) Drehmoment.
Masse: Maß für die Trägheit eines Massenpunkts bzgl. einer linearen Bewegung Trägheitsmoment Θ: Maß für die Trägheit eines ausgedehnten Körpers bzgl. einer Drehbewegung
Kraft F: Ursache für eine lineare Beschleunigung a Drehmoment M: Ursache für eine Winkelbeschleunigung ω* 
Eine nach links gerichtete Kraft auf einen nach rechts bewegten Massenpunkt bremst diesen ab. Ein linksdrehendes Drehmoment auf einen nach rechts drehenden ausgedehnten Körper bremst diesen in seiner Rechtsdrehung ab.
Eine nach rechts gerichtete Kraft auf einen nach rechts bewegten Massenpunkt macht diesen noch schneller (beschleunigt ihn). Ein rechtsdrehendes Drehmoment auf einen nach rechts drehenden ausgedehnten Körper macht seine Rechtsdrehung noch schneller (führt zu einer Winkelbeschleunigung).

In einem anderen Band des oben erwähnten Lehrbuchs heißt es zum Elektromotor bei der Erklärung des Kommutators: "Wir schließen die Spule ... zunächst an eine Gleichstromquelle an. Der Läufer erfährt ein Drehmoment und bleibt so stehen, dass ungleichnamige Pole von Spule und Dauermagnet einander gegenüberstehen." Der Verfasser meint natürlich nicht, dass die Folge des Drehmoments der Stillstand ist. Aber auch, wenn er gemeint haben sollte, dass das Verschwinden des Drehmoments die Ursache des Stillstands ist, wäre das völlig falsch.Wegen der Trägheit würde sich der Rotor über die Stelle des verschwindenden Drehmoments hinweg bewegen. Erst nach mehrfachem Hin- und Herpendeln über diese Stelle hinweg hätte die Reibung die Energie des Rotors aufgezehrt, und er würde dort stehen bleiben, wo ihm keine neue Energie mehr zugeführt wird.


8. Eine kräfte- und drehmomentenfreie Bewegung
Stell' dir einen Astronauten vor, der kräftefrei und drehmomentenfrei im schwerelosen Raum des Weltalls schwebt. Wie wird er sich bewegen?

1. Es wirkt keine Kraft auf ihn. Also bewegt sich sein Schwerpunkt, in dem wir uns seine ganze Masse konzentriert denken können, geradlinig mit der konstanten Geschwindigkeit weiter, die ihm irgendwann einmal mitgegeben wurde.

2. Es wirkt kein Drehmoment auf ihn. Also rotiert er mit der konstanten Drehzahl (Winkelgeschwindigkeit) um seinen Schwerpunkt weiter, die ihm irgendwann einmal mitgegeben wurde.

Es kann einen (mitbewegten) Beobachter geben, für den der Schwerpunkt des Astronauten ständig ruht. Es kann einen Beobachter geben, für den der Astronaut keine Rotation um den Schwerpunkt vollzieht.

Für einen Beobachter, der z.B. in der Raumstation ruht, könnte die Bewegung wie links aussehen.

Es gibt dazu ein Video aus der Raumstation ISS und von einem Parabelflug:

http://www.youtube.com/watch?v=lCL0-ooDZ9c&NR=1

http://www.helles-koepfchen.de/esa/astrolab_thomas_reiter/video.html

Abb. 16: Schematische Darstellung eines Astronauten, der sich kräfte- und drehmomentenfrei bewegt.


9. KGG und DGG gleichzeitig

Abb. 17: Zwei Personen (gelb) tragen eine Stange  (Leiter, ...) , an der eine Last L = 300 N hängt, wobei die Stange selbst die Gewichtskraft G = 200 N erfährt.
Hier wird ein Standard-Beispiel untersucht.

(a) Zwei Personen tragen eine Stange, Leiter, ... auf ihren Schultern. Irgendwo zwischen ihnen hängt eine Last (Eimer, ... ) an der Stange. Es sind folgende Kräfte zu berücksichtigen:

  • die Gewichtskraft auf die Leiter G (G = 200 N); sie greift an ihrem Schwerpunkt S an,
  • die Gewichtskraft, die auf die Last wirkt L (L = 300 N); L soll  zunächst am Schwerpunkt S angreifen,
  • die Auflagekräfte, die auf die Schultern der beiden Personen drücken: F1' und F2'; sie können allein durch die Last L und das Eigengewicht der Leiter G entstehen (eine andere Kraft drückt nicht nach unten),
  • gleich große Gegenkräfte dazu, die die Personen auf die Leiter ausüben, damit die Leiter sie nicht zu Boden drückt: F1und F2; sie greifen an der Leiter an.

Eine ähnliche Situation entsteht z.B., wenn die Auflagekräfte bei einer zweiseitig gelagerten Brücke berechnet werden sollen. L könnte dann die Gewichtskraft auf einen über die Brücke fahrenden LKW sein.

Den Drehpunkt wählen wir beliebig (im Gleichgewichtsfall findet ja überhaupt keine Drehung statt, also ist hier jeder Punkt gleichberechtigt), am besten am Angriffspunkt irgendeiner Kraft. Das  hat den Vorteil, dass diese Kraft kein beitragendes Drehmoment erzeugen kann.

(b) Wählen wir also den Angriffspunkt der Last L (Schwerpunkt S) als Drehpunkt. Dann sind die beiden Hebelarme a = 0,9 m und b = 1,5 m. Drehmomente werden dann erzeugt durch die Kräfte, die am Hebel angreifen, also nur durch die Gegenkräfte zu den Auflagekräften. F1 erzeugt ein rechtsdrehendes Drehmoment F1·a, F2 ein linksdrehendes Drehmoment F2·b. Beide sind im Gleichgewicht, also

(1) F1·a = F2·b    (DGG)

außerdem gilt KGG (nur L und G ziehen nach unten; nur sie können F1' und F2' erzeugen mit den Beträgen F1' = F1und F2' = F2:

(2) L + G = F1 + F2   (KGG)

aus (1) F1 = F2·b/a  in (2)    L + G = F2·(b/a + 1), also F2 = (L +G)·a/(a+b)  und damit F1 = (L +G)·b/(a+b) = 500 N·1,5m/2,4 m = 312,5 N ; dann also F2 = (L+G) - F1 = 187,5 N

Das wäre eine ziemlich ungünstige Situation, weil die erste Person mehr als die gleiche Kraft ertragen müsste, als  wenn sie allein die Last L getragen hätte.

(c) Du hättest auch den Angriffspunkt von F2 als Drehpunkt wählen können. Dann würde F1 ein rechtsdrehendes Drehmoment F1·(a+b) erzeugen, die Last L und das Gewicht der Leiter G ein linksdrehendes (L +G)·b. Statt (1) hätten wir

(1')   F1·(a+b) = (L +G)·b  und damit wieder F1 = (L +G)·b/(a+b)

Auf die Wahl des Drehpunkts kommt es - wie erwartet - nicht an.

d) Nimm jetzt an, dass die Last L nicht am Schwerpunkt angreift Wir wählen trotzdem den Angriffspunkt von L als Drehpunkt. Dann gibt es ein zusätzliches linksdrehendes Drehmoment  G·c  (c = 0,1 m), und wir hätten

(1") F1·a + G·c = F2·b   KGG wie in (2). Daraus ergibt sich F2 = L + G - F1 in (1"):

F1·a + G·c = (L + G - F1)·b, also F1·(a+b) = L·b + G·(b-c) bzw.  F1 = [ L·b + G·(b-c) ] / (a+b) = [ 450 + 280 ] / (2,4)  = 304,2 N  und F2 = L + G - F1 = 195,8 N.

Ich hätte lieber den Sack allein, ohne Helfer und Leiter, getragen. Dann hätte ich nur 300 N aufwenden müssen.

.

.