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© Horst Hübel Würzburg 2005-2012

Mechanik der Erhaltungssätze  

Die Mechanik der Erhaltungssätze

Man kann manche physikalischen Sachverhalte offenbar auf einige verschiedene Weisen erklären. So hattest du als eine der Erklärungsmöglichkeiten von Bewegungen die "Newtonsche Mechanik" kennengelernt. Hier soll gezeigt werden, dass die "Mechanik der Erhaltungssätze" in gleicher Weise Bewegungen erklären kann. Einige Aspekte werden dabei etwas anders betont. Sie sind aber auch in der Newtonschen Mechanik enthalten. Das Bemerkenswerte ist, dass diese Art von Mechanik, obwohl sie das Gleiche erklärt, völlig andere Begriffe verwendet. Strenggenommen kommen Beschleunigungen und Kräfte hier gar nicht vor. Und die Geschwindigkeit v aus der Newtonschen Mechanik wird ersetzt durch Impuls p und kinetische Energie Ekin  aus der Mechanik der Erhaltungssätze.

Vorhersagen mit dem Impulserhaltungssatz

Schauen wir uns ein einzelnes Teilchen an.

Mechanik der Erhaltungssätze

Newtonsche Mechanik

Wenn das System des Teilchens impulsmäßig abgeschlossen ist, besagt der Impulserhaltungssatz IES dafür, dass sein Impuls dem Betrag und der Richtung nach erhalten bleibt. Das 1. Newton-Gesetz sagt für das Teilchen aus: Wenn keine äußere Kraft wirkt, bleibt die Geschwindigkeit nach Betrag und Richtung konstant.
Das Teilchen muss sich dann geradeaus mit konstanter Geschwindigkeit vorwärts bewegen, wenn es in Bewegung ist, und es muss weiterhin ruhen, wenn es in Ruhe ist.

Leitet man den IES für diesen Fall (p = konst) nach der Zeit ab, entsteht dp/dt = 0 . Wie du leicht nachprüfen kannst, ist das aber gerade die Kraft, also folgt F = 0. ( Es gilt nämlich bei konstanter von 0 verschiedener Masse dp/dt = m dv/dt = m.a = F

Für die Übersetzung der Mechanik der Erhaltungssätze in die Newtonsche Mechanik ist offenbar die Beziehung

   F = dp/dt  ; damit hängt zusammen:   p = m.v (nichtrelativistisch für ein Teilchen mit Masse)

wesentlich. Sie besagt: Eine Kraft F ist die Ursache für eine gleichgerichtete Impulsänderung. Und das ist wiederum die Aussage des 2. Newton-Gesetz: Wegen dp/dt = m dv/dt = m.a  gilt nämlich bei konstanter Masse:  

  F = m.a 

F ist dabei die Gesamtkraft, die auf das Teilchen wirkt. Das Vehikel, mit dem hier die Brücke zwischen beiden Mechaniken überschritten werden kann, ist offenbar die Zeitableitung des Impulses.

Für ein System aus 2 Teilchen  

Mechanik der Erhaltungssätze

Newtonsche Mechanik

Wenn das System der zwei Teilchen impulsmäßig abgeschlossen ist, besagt der Impulserhaltungssatz IES dafür, dass der Gesamt-Impuls dem Betrag und der Richtung nach erhalten bleibt, also  p1 + p2 = konst.

Die Summe ist auch der Schwerpunktsimpuls P . Eine Aussage des IES ist also P = 0, eine andere:

p1 = - p2

Also: Der Schwerpunkt bewegt sich dann mit konstanter Geschwindigkeit geradeaus oder bleibt weiterhin in Ruhe, wenn der Schwerpunktsimpuls (Gesamt-Impuls) 0 ist.

Das 3. Newton-Gesetz sagt für die Teilchen aus: Wenn keine äußeren Kräfte wirken, übt Teilchen 1 eine Kraft F1 aus, die am Teilchen 2 angreift. Teilchen 2 übt eine Kraft F2 aus, die am Teilchen 1 angreift. Die beiden Kräfte sind entgegengesetzt gleich:
F1 = - F2

Auf den Schwerpunkt wirkt keine Kraft. Dieser bewegt sich also mit konstanter Geschwindigkeit geradeaus oder bleibt weiterhin in Ruhe.

Leitet man den IES für diesen Fall (p1 + p2 = konst.) nach der Zeit ab, entsteht dp1/dt + dp2/dt = 0. Das setzt gerade die beiden Kräfte in Beziehung zueinander: F1 + F2 = 0 oder F1 = - F2 .

(Wenn auf den Schwerpunkt eine Kraft wirkt, ändert diese den Impuls des Schwerpunkts, der damit beschleunigt wird.)

Vorhersagen mit dem Energieerhaltungssatz

Nicht immer existiert für ein Teilchen eine potenzielle Energie. Beim Freien Fall im Schwerefeld der Erde ist das aber der Fall. Dann gilt  bei einem Teilchen für die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie der Energieerhaltungssatz EES.

Mechanik der Erhaltungssätze

Newtonsche Mechanik

Wenn das System aus einem Teilchen energetisch abgeschlossen ist, besagt der Energieerhaltungssatz EES dafür, dass die Gesamt-Energie erhalten bleibt, also Ekin + Epot = konst.

Beim Freien Fall wird also potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt.

Der Freie Fall erfolgt unter der Wirkung des 2. Newtongesetzes:

F = m.a , wobei die konstante Gewichtskraft F = m.g wirkt.

Anfangsbedingungen: Ekin  und Epot zu einem bestimmten Zeitpunkt Anfangsbedingungen: Geschwindigkeit v und Ort x zu einem bestimmten Zeitpunkt
EES:  m/2 v2 + m.g.h = konst (Koordinatenursprung unten, bei h = 0; positive Richtung nach oben; g > 0)

abgeleitet nach der Zeit (dh/dt = dx/dt = v < 0):

m.v.a + m.g.v = 0  bzw.     m.a = - m.g

wie es auch das 2. NG für die konstante Schwerkraft m.g verlangt. Die Beschleunigung  a ist nach unten gerichtet (negativ).

Es gibt aber noch eine Beziehung zwischen Kraft und potenzieller Energie, wenn eine solche existiert.  Beispiele zeigen es. z.B. für den Freien Fall: d ( m.g.h)/dx =  m.g (da mit der obigen Koordinatenwahl dh = dx ist. Hier ist die Kraft F, die Gewichtskraft - m.g , nach unten gerichtet. Allgemein gilt, wenn die Kraft nur in x-Richtung wirkt:

  dEpot/dx = - Fx = - F  ( = m.g)

Zur Definition der kinetischen Energie braucht man übrigens keine Geschwindigkeit. Aus der nichtrelativistischen Beziehung Ekin = m.v2/2 wird durch Erweiterung mit m :  Ekin = (m.v)2/2m = p2/2m , eine auch in anderem Zusammenhang nützliche Beziehung mit Größen allein aus der Mechanik der Erhaltungssätze:

     Ekin = p2/2m    

Die harmonische Schwingung in beiden "Mechaniken"
Bei einem Federpendel gilt Epot = D/2 x2 (D Federhärte). Der Koordinatenursprung liege in der Ruhelage; x ist die Auslenkung; x > 0 bedeutet, dass die Feder gedehnt ist, x < 0, dass sie zusammengedrückt ist. Das ist das berühmte Parabelpotenzial des Federpendels. In der nebenstehenden Zeichnung werden potenzielle Energie  (blau) und ihre Ableitung nach x (Steigung; rot) miteinander verglichen. Rechts vom Nullpunkt ist nach der Beziehung oben F < 0, links davon F > 0 . Im ersten Fall zeigt die Kraft nach links, im zweiten nach rechts. Es handelt  sich um rücktreibende Kräfte, wie du sie bei der harmonischen Schwingung kennst. Ihre Richtungen sind eingezeichnet. Sie versuchen immer, eine ausgelenkte Masse in die Ruhelage (x = 0) zurück zu bringen.

So macht also die Mechanik der Erhaltungssätze über das Parabelpotenzial auch für diesen Fall die gleichen Aussagen wie die Newtonsche Mechanik.

Mechanik der Erhaltungssätze

Newtonsche Mechanik

Der Energieerhaltungssatz EES für eine harmonische Schwingung besagt, dass die Gesamt-Energie erhalten bleibt, also Ekin + Epot = konst., wobei  

Epot  = D/2 x2

Es wird  ständig potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt und umgekehrt.

Die harmonische Schwingung erfolgt unter dem Einfluss einer rücktreibenden Kraft F = - D.x
Anfangsbedingungen: Ekin und Epot zu einem bestimmten Zeitpunkt Anfangsbedingungen: Geschwindigkeit v und Ort x zu einem bestimmten Zeitpunkt
EES: m/2 v2 + D/2 x2 = konst (Koordinatenursprung in der Ruhelage; positive Richtung nach oben; die Schwerkraft ist durch die - verschobene Ruhelage vollständig berücksichtigt.)

Auch aus dem Parabelpotenzial (MES) folgt eine rücktreibende Kraft (Newtonsche Mechanik):   dEpot/dx = - F = D.x

Auch am Zeitverlauf von Ekin und Epot lässt sich die Bewegung in gleicher Weise diskutieren wie am Zeitverlauf von x und v:

Beim Durchgang durch die Ruhelage (x = 0) verschwindet die potenzielle Energie (grüne Kreise), die kinetische Energie ist dort maximal (rote Kreise).

In den Umkehrpunkten ist die kinetische Energie 0 und die potenzielle Energie maximal.

Beim Durchgang durch die Ruhelage (x = 0) verschwindet die Auslenkung x (grüne Kreise), der Betrag der Geschwindigkeit ist dort maximal (rote Kreise).

In den Umkehrpunkten ist die Geschwindigkeit 0 und der Betrag der Auslenkung maximal.

Potenzielle Energie und Kraft

Im folgenden Abschnitt wird der allgemeine Zusammenhang zwischen Ableitung der potenziellen Energie und Kraft begründet. Du kanst ihn erst einmal überspringen.

Wenn für das Teilchen eine potenzielle Energie existiert, ist die Verschiebungsarbeit zwischen zwei Punkten wegunabhängig, also nur von Anfangs- und Endpunkt der Verschiebung abhängig. Also gilt z. B. für eine Verschiebung durch eine äußere Kraft Fext vom Potenzialnullpunkt x0 aus: W = integral ( Fext(x').dx' ) in den Grenzen von x0 bis x. Durch diese Arbeit wird die potenzielle Energie erhöht. W ist dann gleich der potenziellen Energie am Ort x, wenn nicht auch noch durch Beschleunigung kinetische Energie zugeführt wird. Die Verschiebung soll also beliebig langsam erfolgen. Dann muss Kräftegleichgewicht zwischen der verschiebenden Kraft Fext  und der Kraft F des Feldes sein, in dem die Verschiebung erfolgt. Es muss gelten: Fext  = - F. Fext verrichtet also Arbeit gegen die Feldkraft F. Wenn die Kraft  F nur in die x-Richtung wirkt, gilt aber auch dW/dx = dEpot/dx = Fext  = - Fx = - F  (Ableitung nach der oberen Grenze). Das Vehikel, mit dem die Brücke zwischen beiden Mechaniken überschritten wird, ist offenbar hier die Verschiebungsarbeit W. Fortgeschrittene Studenten würden statt F = - dEpot/dx lieber F = - grad Epot(x) schreiben, aber das soll hier nicht näher erläutert werden.

Bewegungen vorherberechnen

Mit Hilfe der Newtonschen Mechanik kann man Bewegungen vorherberechnen. Das muss also auch mit den Erhaltungssätzen gehen. Betrachten wir ein System aus einem Teilchen, für das eine potenzielle Energie existiert.

a) Zu irgendeinem Zeitpunkt sei eine kinetische Energie =/= 0 vorgegeben und eine beliebige potenzielle Energie ("Anfangsbedingungen"). Die kinetische Energie ist mit einer Bewegung verbunden, die zu einer Ortsänderung und damit zu einer Änderung der potenziellen Energie und damit wiederum der kinetischen Energie führt, aber so, dass die Gesamtenergie konstant bleibt. Ekin führt wiederum zu einer Ortsänderung usw. Diese Überlegung zeigt schon, dass im Energieerhaltungssatz ebenfalls eine Bewegung bzw. Zeitentwicklung des Systems enthalten ist.

b) Zu irgendeinem Zeitpunkt sei die kinetische Energie = 0 und die potenzielle Energie =/= 0 vorgegeben. Zunächst fragst du dich, wie hier eine Veränderung eintreten kann. Warum sollte die potenzielle Energie abnehmen, während die kinetische Energie wächst? Wenn wir kurz Kontakt aufnehmen mit der Newtonschen Mechanik sehen wir, dass eine Kraft wirkt (F = - dEpot /dx). Durch sie wird die Masse beschleunigt, also nimmt die kinetische Energie zu und alles läuft so ab, wie bei a) geschildert. Wir brauchen diese Gesetzmäßigkeit aber gar nicht einsetzen, eine beliebige geringfügige Abweichung der kinetischen Energie von 0 setzt die Dynamik in Gang.

Mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie EXCEL oder OPENOFFICE kann für ein bestimmtes Gesetz der potenziellen Energie bei wohldefinierten Anfangsbedingungen die zukünftige Bewegung vorher berechnet werden. Das Gerüst bei einer harmonischen Schwingung wird dafür hier vorgestellt. Wenn du etwas Erfahrung hast mit dem Erstellen einer Tabellenkalkulation, wird dir die Umsetzung nicht schwer fallen.

Zu a):  Tabellenkalkulation für die Anfangsbedingungen x0 = beliebig, v0 =/= 0
dt t v0 x0 v = v0 x = x0 + v.dt Ekin = m/2 v02  Eges= m/2 v02 + D/2 x02 Epot = D/2 x2 Ekin = Eges - Epot
--- t = t + dt --- --- v = +/- wurzel (2.Ekin/m)  *)

"

Ekin = Ekin

---

"

"

Ekin = Ekin bedeutet: Der Ekin-Wert, der in der vorangehenden Zeile zum vorangehenden Zeitschritt erhalten wurde, wird als neuer Ekin-Wert übernommen.

Zu b):  Tabellenkalkulation für die Anfangsbedingungen x0 =/= 0, v0 = 0
dt t x0 v0 = beliebig klein x = x0 v = v0 Epot = D/2 x2 Eges =  D/2 x02  
( + m/2 v02)
Ekin = Eges - Epot v = +/- wurzel (2.Ekin/m)    *) dx = v*dt
--- t = t + dt --- --- x = x + dx v = v

"

---

"

"

"

v = v bedeutet: Der v-Wert, der in der vorangehenden Zeile zum vorangehenden Zeitschritt erhalten wurde, wird als neuer v-Wert übernommen.

*) Die relativen Vorzeichen von v müssen dem Problem entsprechend angepasst werden!

Es gibt noch eine Formulierung der Mechanik, die potenzielle und kinetische Energie verwendet, aber nicht explizit den Energieerhaltungssatz, die Lagrange-Mechanik. Dazu gibt es von Herrn Dr. Lück  von der Uni Würzburg ein sehr schönes PC-Programm ("Lagrange"), mit dem man Bewegungen vorausberechnen kann ohne näher auf die Theorie der Lagrange-Mechanik einzugehen.