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SG048 Rotationsbewegung eines starren Körpers

Trägheitsmoment

Drehmoment

Glossar 

Physik für Schülerinnen und Schüler

Man kann sich einen rotierenden starren Körper vorstellen als ein System von vielen einzelnen Teilchen, die in einer gewissen Weise gemeinsam um ein Zentrum rotieren. Zum Glück gibt es Gesetzmäßigkeiten und Verfahren, die eine Betrachtung dieser vielen Kreis-Bewegungen durch die Betrachtung des Körpers als Ganzem ersetzen.

Ein rotierender starrer Körper rotiert um eine Achse. Das kann eine feste Achse sein, die durch Lager festgehalten wird. Das kennst du vom Fahrrad oder vom PKW. Du weißt aber auch, dass ein Tennisball während seines Flugs ins gegnerische Feld sich um eine mitbewegte Achse drehen kann. Man nennt sie eine "freie Achse". Wozu braucht man überhaupt eine gelagerte Achse?

Die einzelnen Teilchen, die den ausgedehnten Körper aufbauen, befinden sich bei der Rotation in einem beschleunigten Bezugssystem; es können also auch Zentrifugalkräfte entstehen. Diese spielen kaum eine Rolle, wenn die Drehung um eine Symmetrieachse erfolgt, weil sich, getrennt durch die Achse, immer zwei Partner finden lassen, die sich gegenseitig aufheben. Sie werden dann hier nicht weiter diskutiert. Solche Achsen heißen Hauptträgheitsachsen. Hauptträgheitsachsen sind also auch Symmetrieachsen. Ein Quader hat 3 Hauptträgheitsachsen. Andernfalls aber entsteht bei der Rotation eine Unwucht, durch die eventuell zerstörerische Kräfte auf die Achslager ausgeübt werden. Dagegen entsteht auf eine Hauptträgheitsachse keine äußere Kraft. Die Achse muss dann nicht durch ein Lager festgehalten werden; dies ist eine "freie Achse" um die eine "freie Drehung" möglich ist. Bei einem kugelförmigen Tennisball ist jeder Durchmesser eine Hauptträgheitsachse, um die eine freie Drehung erfolgen kann.

Ähnlich, wie das 2. Newton'sche Gesetz für eine Translationsbewegung lautet: F = m · a , gilt auch für das Drehmoment bei einer Drehbewegung:

       M = Θ · ω*     

M ist dabei der Vektor des Drehmoments, ω* der Vektor der Winkelbeschleunigung (analog a =  Δv/Δt = v* , Zeitableitung von v, gilt auch hier ω*= Δω/Δt bzw. Zeitableitung der Winkelgeschwindigkeit ω) und Θ das so genannte "Trägheitsmoment". Das Drehmoment ist senkrecht zur wirkenden Kraft und zum Hebelarm gerichtet.

(Im Unterschied zum Zeitmoment heißt es das Trägheitsmoment und das Drehmoment, weil das Wort vom lateinischen momentum herkommt.)

Bei einer Drehung um eine feste Achse oder auch eine Hauptträgheitsachse sind Drehmoment M und Winkelbeschleunigung ω* gleichgerichtet und Θ ist ein reiner Zahlenfaktor. Das Drehmoment bewirkt dann eine zeitliche Änderung des Betrags von ω; der starre Körper rotiert schneller oder langsamer. Die Richtung von Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit bleiben dann konstant. Ohne Drehmoment rotiert ein starrer Körper mit konstanter Winkelgeschwindigkeit oder gar nicht.

(Bei einer Drehung um eine feste Achse sind auch Drehimpuls L und Winkelgeschwindigkeit ω gleichgerichtet: L = Θ·ω)

In anderen Fällen muss man bei der Interpretation der Gleichung für das Drehmoment etwas vorsichtig sein, weil Θ nicht immer als Zahlenfaktor aufgefasst werden darf (ohne weitere Erklärung: "Trägheitstensor"). In diesem Fall sind L und ω auch nur dann gleichgerichtet, wenn die Drehung um eine der drei möglichen "Hauptträgheitsachsen" erfolgt. Eine freie Drehung ohne festgehaltene Achse, ist nur um eine der Hauptträgheitsachsen möglich. Nicht alle Hauptträgheitsachsen sind auch stabile Achsen. Ein Quader hat z.B. 3 Hauptträgheitsachsen, wovon nur die Drehung um die mit dem größten und dem kleinsten Trägheitsmoment stabil ist.

Falls an einem ausgedehnten Körper eine einzelne Kraft F angreift, erzeugt diese ein Drehmoment und versucht außerdem den Schwerpunkt zu verschieben.

Um die Wirkungen auseinander zu halten, kann man zwei entgegengesetzt gleiche Kräfte F' und F" hinzuaddieren, die sich gegenseitig aufheben, am Schwerpunkt S angreifen und parallel zu F sind.

Sie lassen sich dann neu ordnen: F und F' bilden ein Kräftepaar, das für ein Drehmoment M = r·F bzgl. des Schwerpunkts S verantwortlich ist. Es verbleibt die Kraft F", die eine geradlinige beschleunigte Bewegung (eine Translation) des Schwerpunkts S bewirkt, wenn sie nicht durch eine andere Kraft aufgehoben wird.

Eine einzelne Kraft F auf einen starren Körper lässt sich durch ein Drehmoment bzgl. des Schwerpunkts und eine Kraft F" ersetzen, die am Schwerpunkt angreift.

Falls F nicht senkrecht zur Drehachse wirkt, rüttelt F" an der Achse; wieder werden die Achslager evtl. stark beansprucht, was man gerne vermeiden würde. Greift ein Paar von entgegengesetzt gleichen Kräften an symmetrisch zum Schwerpunkt gelegenen Punkten an, erzeugt das Kräftepaar kein Drehmoment bzgl. des Schwerpunkts; bzgl der Beschleunigung des Schwerpunkts heben sich dann die beiden Kräfte gegenseitig auf.

Der Drehpunkt D  in der Abbildung ist vorgegeben, wenn durch ihn eine feste Achse geht. In anderen Fällen kann man ihn oft frei wählen. Dann müssen alle sonstigen beteiligten Größen auch auf diesen bezogen werden. Wenn mehrere Kräfte auf einen Körper wirken, empfiehlt es sich oft, als Drehpunkt D einen Punkt zu wählen, an dem eine der Kräfte angreift, weil sie dann kein Drehmoment erzeugen kann.

Schematisch:

Bewegung eines Astronauten in der Schwerelosigkeit. Es wird angenommen, dass weder ein Drehmoment noch eine Kraft auf ihn wirkt. Weiter wird angenommen, dass senkrecht zur Zeichenebene eine Hauptträgheitsachse liegt, um die also die freie Drehung des Astronauten erfolgt.

Der Astronaut rotiert dann mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um seinen Schwerpunkt, der sich gleichförmig geradeaus bewegt.

Beschleunigung a = v* Winkelbeschleunigung ω*
Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit ω
Impuls p = m·v Drehimpuls L = Θ·ω
Kraft F = m·a = p* Drehmoment M = Θ·ω* = L*
Masse m Trägheitsmoment Θ