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SG126 Die Zeitmitten-Methode

Geschwindigkeitskonzept

Delta-Methode

Glossar

Physik für Schülerinnen und Schüler

Durchschnittsgeschwindigkeit bzw. Durchschnittstempo bei einer linearen (eindimensionalen) Bewegung zu messen ist einfach: Du musst eine Messstrecke der Länge Δx festlegen und brauchst dann nur noch zu stoppen, wie lange das Fahrzeug für diese Strecke brauchte (Δt), und schon hast du durch den Quotienten  |v| =  vD = Δx/Δt die Durchschnittswerte vom Tempo bzw. vom Betrag der Geschwindigkeit.

Im Intervall Δt ändert sich aber bei vielen Bewegungen die Geschwindigkeit. Um die Momentangeschwindigkeit zu finden könntest du entweder die Messstrecke Δx so klein wählen, dass eine Geschwindigkeitsänderung so gut wie keine Rolle spielt. Oder du könntest die Zeitmitten-Methode anwenden.

Bei relativ einfachen Bewegungen, wie einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung, ist die (Momentan-)Geschwindigkeit am Intervallanfang kleiner als die Durchschnittsgeschwindigkeit vD, am Ende größer (oder umgekehrt). Eine gute Näherung ist es, wenn du annimmst, dass die Momentangeschwindigkeit in der Intervallmitte ("Zeitmitte") mit der Durchschnittsgeschwindigkeit übereinstimmt. Es lässt sich leicht nachweisen, dass das bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (wenn a konstant ist) sogar exakt ist, bei vielen anderen Bewegungen wird es zumindest eine gute Näherung sein.

So kannst du z.B. mit zwei Lichtschranken oder mit der Verdunkelungszeit einer Lichtschranke die Momentangeschwindigkeit messen, beim freien Fall z.B. sogar exakt.

Einen kleinen Nachteil gibt es auch: Wenn du gleichzeitig ein t-x-Diagramm und ein t-v-Diagramm aufnehmen möchtest, gelten die x-Werte nicht unbedingt zu den gleichen Zeiten t wie die v-Werte. Aber auch das lässt sich korrigieren, z.B. mit einem geeigneten Programm, mit dem du den freien Fall mit einem Zackenkamm und einer Lichtschranke untersuchst.


Nachweis, dass bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (mit konstanter Beschleunigung a) die Durchschnittsgeschwindigkeit vD exakt mit der Momentangeschwindigkeit v in der Zeitmitte übereinstimmt:

Die Durchschnittsgeschwindigkeit v = Δx/Δt in einem Intervall Δt stimmt i.A. nicht mit der Momentangeschwindigkeit an den Intervallrändern überein. Dies wird häufig benutzt, um eine Verbindung zwischen dem Begriff der Momentangeschwindigkeit und der Definition der Ableitung durch den Grenzübergang verschwindenden Zeitintervalls zu diskutieren.

Physikalisch natürlicher ist es, die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall nicht einem Intervallrand zuzuordnen, sondern der Intervallmitte ('Zeitmitte'). Wenn sich in einem Zeitintervall Δt die Momentangeschwindigkeit ändert, ist die Annahme plausibel, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit der Momen­tangeschwindigkeit in der Mitte des Zeitintervalls am nächsten kommt. Bei Bewegungen mit a = konst. stimmt die Durchschnittsgeschwindigkeit, wie man leicht nachrechnen kann, mit der Momentangeschwindigkeit in der Zeitmitte sogar exakt überein:

Zeit

Geschwindigkeit

Ort

Durchschnittsgeschwindigkeit

t v1 = v0 x1 = x0 .
t + Δt v2 = v0 + a·Δt x2 = x1 + v0·Δt + ½·a ·Δt2 vD = (x2 - x1)/Δt = v0 + ½·a·Δt
t + ½ ·Δt ("Zeitmitte") v = v0 + a · ½ ·Δt = vD . .

Wie man leicht nachrechnen kann, lässt sich x2 = x1 + v0·Δt + ½·a ·Δt2 ersetzen durch x2 = x1 + vD·Δt . Die einfache Formel wird von manchen Schulbuchautoren für die "Methode der kleinen Schritte" zur Anwendung der Kausalität der Newtonschen Mechanik angesetzt. Sie hat den Vorteil der Einfachheit, aber den Nachteil, dass der Zusammenhang mit den Gesetzen der gleichmäßig beschleunigten Bewegung nur mehr schwer zu erkennen ist.

Anstatt - im Interesse der Infinitesimalrechnung - physikalisch gewaltsam die Durchschnittsgeschwindigkeit vD dem Intervallrand zuzuordnen (wie das traditionell gemacht wird), kann es sich empfehlen, die physikalisch näher liegende Zuordnung vorzunehmen, zumal da diese bei den schulischen Bewegungen meist sogar exakt ist. So kann auch mit Lichtschranken und endlich breiten Reitern in den schulischen Situationen die Momentangeschwindigkeit gemessen werden.

Geschickte Varianten des Zackenkamm-Versuchs, den ich 1983 durch Herrn von Dwingelo-Lütten auf der Tübinger MNU-Tagung kennenlernte, nutzen die Zeitmittenmethode um die Momentangeschwindigkeit eines fallenden Zackenkamms zu messen. Ich denke, dass eine große Lehrmittelfirma, die seit einigen Jahren eine so genannte "g-Leiter" zu diesem Zweck anbietet, im Prinzip ebenso vorgeht.

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( Oktober 2013 )