A Eindimensionale beschleunigte Bewegung

Eine beschleunigte Bewegung liegt vor, während sich die Geschwindigkeit eines Körpers ändert.

Nur dann spricht man in der Physik von einer Beschleunigung. Man sagt dann, der Körper "wird beschleunigt".

Auch in der Umgangssprache wird das gleiche Wort gebraucht. Es ist aber wieder einmal viel zu verwaschen, als dass man in der Physik etwas damit anfangen könnte. Von einem schnell bewegten Körper behauptest du umgangssprachlich vielleicht "der Körper ist beschleunigt". Irgendwie steckt in dieser Sprechweise auch ein Körnchen einer physikalischen Überlegung. Denn, wenn der Körper sich jetzt schnell bewegt, wird er vorher wohl irgendwann einmal beschleunigt worden sein, z.B. aus der Ruhe.

Aber so wird das Wort "beschleunigen" in der Physik nicht angewandt.

In der Physik bezieht es sich ausschließlich auf den aktuellen Vorgang, nicht auf seine Vorgeschichte.

Deswegen wird also das Wort "beschleunigen" nie im Zusammenhang mit einem sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegenden Körper angewandt. Es wird ausschließlich dann angewandt, während sich gerade die Geschwindigkeit eines Körpers ändert. Dann "wird der Körper beschleunigt".

Achte bitte auch auf diesen Unterschied zwischen der präzisen Fachsprache und der verwaschenen Umgangssprache.

Für das Folgende wird eine eindimensionale Bewegung längs einer x-Achse vorausgesetzt. D.h. vor dem Versuchsbeginn wird ein Koordinatensystem so gewählt, dass die x-Richtung mit der Bewegungsrichtung übereinstimmt. Es muss eindeutig vereinbart sein, was die positive (x-)Richtung ist. Auf den Koordinatenursprung kommt es hier zunächst weniger an.

Versuch 1: Anfahren und Bremsen mit dem Fahrrad: Als Fahrtenschreiber wird ein Kassettenrekorder verwendet. Versehen mit einer Schutzschaltung aus zwei antiparallel gepolten Si-Dioden zeichnet er die Wechselspannung auf, die der Fahrraddynamo erzeugt. Die gemessene Frequenz ist ein Maß für die Geschwindigkeit. Die Frage ist: Welchen Zusammenhang gibt es zwischen einer möglichst konstanten Kraft und der Geschwindigkeitsänderung ? Dem t-v-Graphen entnimmt man folgende Vermutungen: (1) Eine konstante Kraft (beim Anfahren und Bremsen) bewirkt eine gleichmäßige Änderung der Geschwindigkeit bzw. eine konstante Steigung des t-v-Graphen (2) Wenn die Kraft nicht ganz konstant ist, ändert sich auch die Geschwindigkeit nicht ganz gleichmäßig (tote Punkte beim Pedal). (3) Wenn (so gut wie) keine Kraft wirkt, wie etwa hier beim antriebslosen Rollen, ändert sich die Geschwindigkeit (so gut wie) nicht.

C Momentangeschwindigkeit statt Durchschnittsgeschwindigkeit

Du glaubst vielleicht, dass man wieder mit der Formel v = Δx/Δt die Geschwindigkeit berechnen könne, wenn sich in einem Zeitabschnitt  Δt  der Ort des Fahrzeugs um  Δx  ändert. Tatsächlich erhält man so nur die Durchschnittsgeschwindigkeit v_D des Fahrzeugs in dem Zeitintervall , also

vD = Δx/Δt   Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitabschnitt  Δt

Im Allgemeinen ist es durchaus möglich, dass in diesem Intervall die Geschwindigkeit v zu manchen Zeiten kleiner oder auch größer als die Durchschnittsgeschwindigkeit v_D ist. Um die beiden Geschwindigkeitsbegriffe auseinander zu halten, nennt man die normale Geschwindigkeit v häufig auch Momentangeschwindigkeit.

Für die Durchschnittsgeschwindigkeit bedeutet v_D = 5 m/s, dass in 1 s 5 m zurückgelegt werden, wenn das Zeitintervall 1 s lang ist. Wenn das Zeitintervall 10 s lang ist, bedeutet das eine Ortsänderung um 50 m. Ist das Zeitintervall nur 0,1 s lang, bedeutet das eine Ortsänderung von 0,5 m in diesem Zeitintervall. Nichts weiter. 5 m/s ist in all diesen Fällen ein rein rechnerischer Wert.

Für die (Momentan-)Geschwindigkeit bedeutet v = 5 m/s nicht, dass in 1 s 5 m zurückgelegt werden, auch nicht, dass in 0,1 s 0,5 m zurückgelegt werden, aber schon eher, dass in 0,01s ca. 0,05 m, oder noch besser, dass in 0,001 s ca. 0,005 m, also 5 mm, zurückgelegt werden. (Auch hier ist 5 m/s ein rein rechnerischer Wert.)

Erläuterung am Graphen.

Erst die Tangente hat die gleiche Steigung wie die Funktion. Für die Tangente wären das alles dieselben Aussagen, aber erst, wenn das Zeitintervall gegen 0 geht, ist die Geschwindigkeitsänderung nach der Tangente in dem betreffenden Intervall gleich der Geschwindigkeitsänderung der tatsächlichen Bewegung.

Veranschaulichung mit Zeichnung.

In den Kreisen ist die jeweilige Tachoanzeige eingeblendet. Es handelt sich ganz klar um eine beschleunigte Bewegung. In den verschiedenen Zeitabschnitten, gekennzeichnet durch jeweils gleiche Farbe, ergibt sich immer dieselbe Durchschnittsgeschwindigkeit vD = 70 km/h. Je kürzer das Zeitintervall, desto weniger unterscheidet sich die tatsächliche Momentangeschwindigkeit v von der Durchschnittsgeschwindigkeit vD. (Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird berechnet, indem die Ortsänderung Δx in einem Zeitabschnitt Δt  durch die Länge des Zeitabschnitts Δt dividiert wird. Sie ergibt sich i.a. nicht aus den Geschwindigkeiten zu Anfang und Ende des Zeitabschnitts)

D Untersuchung der Bewegung unter idealisierten Bedingungen

Bei diesem Versuch wird eine exakt konstante Kraft eingesetzt. Die Vermutungen des Versuchs 1 werden damit getestet.

Versuch 2: Bestätigung der Vermutungen unter idealisierten Bedingungen an der schiefen Ebene. Die Luftkissenfahrbahn sorgt für vernachlässigbare Reibung. Sie ist leicht geneigt, deshalb entsteht eine konstante Hangabtriebskraft. Koordinatenursprung und positive Richtung sind entsprechend der Abbildung gewählt. Das Programm VTLICHT.EXE misst die Laufzeit von Lichtschranke LS1 zu LS2 und durch die Unterbrechungszeit von LS2 die Momentangeschwindigkeit*). Ergebnis: (1) Es ergibt sich eine perfekte Ursprungsgerade: Das t-v-Diagramm bei einer konstanten Kraft ist eine Ursprungsgerade, wenn das Fahrzeug am Koordinatenursprung aus der Ruhe startete. (2) Auch bei anderen Anfangsbedingungen gilt: Eine konstante Kraft führt zu einer konstanten Steigung des t-v-Graphen

E Die Beschleunigung a

Es ist deshalb naheliegend für eine Bewegung mit konstanter Kraft einen eigenen Namen für diese konstante Steigung a = Δv/Δt einzuführen: Beschleunigung a (a wie engl. acceleration) . Die Beschleunigung a kennzeichnet also die Geschwindigkeitsänderung pro Zeitabschnitt. Das ist aber gerade die Steigung des t-v-Diagramms, wenn diese konstant ist.

Im Falle einer konstanten Kraft ist die Beschleunigung die konstante Steigung des t-v-Diagramms bzw. Geschwindigkeitsänderung pro Zeitabschnitt.

Nimm an, bei einem PKW ändert sich die Geschwindigkeitin einem Zeitabschnitt von 2 s von 10 km/h auf 30 km/h, also um 20 km/h . Die Beschleunigung ist dann a = 20 km/h / 2 s = 10 km/h /s = 10 km/(h·s). Du siehst ganz klar, wie in die Benennung zwei Zeitangaben eingehen, eine von der Geschwindigkeitsänderung und eine zweite vom Zeitintervall, in dem diese geschieht. Häufig hat die Beschleunigung aber die Einheit 1 m/s². Klar, wie das zustande kommt: Z.B. erfolge eine Geschwindigkeitsänderung um 5 m/s in 5 s. Dann ist also a = 5 m/s / 5 s = 1 m/(s·s) = 1 m/s²

Du weißt jetzt, wie die Benennung (Einheit) der Beschleunigung zustande kommt, und brauchst du dich nicht fragen, was etwa die vermeintlichen "Quadratsekunden" sein sollen.

Aus a = Δv/Δt folgt sofort: Δv = a·Δt. Wenn also a = 4 m/s² und Δt = 2 s , folgt eine Geschwindigkeitsänderung Δv = a·Δt = 8 m/s. Wenn zu Beginn des Zeitintervalls sich der Körper mit v = 2 m/s bewegte, erreicht er also bis zum Ende des Zeitintervalls die Geschwindigkeit 2 m/s + 8 m/s = 10 m/s.

Mit einigen Kopfrechenaufgaben  kannst du das leicht in den Griff bekommen:

v jetzt (Anfangsgeschwindigkeit v0)	Beschleunigung a	Zeitabschnitt Δt	Geschwindigkeitsänderung im Zeitabschnitt Δt	Geschwindigkeit am Ende des Zeitabschnitts Δt	Geschwindig-keit wächst oder sinkt?	Fahrzeug wird schneller oder langsamer?
5 m/s	10 m/s2	2 s	20 m/s	25 m/s	wächst	schneller
2 m/s	10 m/s2	4 s	.	.	.	schneller
-5 m/s	2 m/s2	4 s	.	. .	.	erst langsamer, dann wieder schneller
0 m/s	8 m/s2	3 s	.	.	.	schneller
20 m/s	-2 m/s2	5 s	.	.	.	langsamer
20 m/s	- 5 m/s2	10 s	.	.	.	erst langsamer, dann schneller
-10 m/s	- 4 m/s2	2 s	.	.	.	schneller

Im ersten Fall rechnest du im Kopf: 10*2  + 5 = 25

Bei eindimensionalen Bewegung ist die Beschleunigung a die Steigung des t-v-Diagramms bzw. die Geschwindigkeitsänderung pro Zeitabschnitt. Eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung heißt gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Beispiel: Im Zeitabschnitt Δt = 2 s nimmt die Geschwindigkeit von 10 m/s auf 0 m/s ab. Die Geschwindigkeitsänderung ist also Δv = - 10 m/s. Daraus folgt eine Beschleunigung a = Δv/Δt = - 10 m/s / 2 s = - 5 m/s2. Du hättest auch ein anderes Steigungsdreieck verwenden können, z.B. das mit Δt = 4 s. Hier liest du aus der Zeichnung ab: Δv = - 20 m/s (Beachte die Richtung der Pfeile im Vergleich zu den Koordinatenrichtungen!). Es folgt die gleiche negative Beschleunigung a = - 5 m/s2. Dass sie überall negativ sein muss, erkennst du daran, dass die Geschwindigkeit immer abnimmt, wobei aber das Fahrzeug zunächst bis zum Stillstand abgebremst wird (zur Zeit 2 s). Dann wird das Fahrzeug wieder schneller und erreicht schließlich bei t = 4 s sein größtes Tempo, aber die kleinste Geschwindigkeit.

F Der Beschleunigungsvektor (kannst du zunächst überspringen)

In den folgenden Zeichnungen ist die positive Koordinatenrichtung entsprechend der Zeichnung gewählt. Du wirst an der eindimensionalen Bewegung längs einer schiefen Ebene zunächst verstehen, weshalb man von einem Beschleunigungsvektor sprechen kann. Die Überlegung gilt zunächst bei einer Kraft konstanter Richtung, wird dann aber auf beliebige Bewegungen verallgemeinert.

Stell' dir folgenden Versuch vor: (1) Unter der Wirkung einer konstanten Hangabtriebskraft wird ein Gleiter oder Wagen aus der Ruhe hangabwärts beschleunigt. Er wird beschleunigt, weil sich seine Geschwindigkeit ändert. Ihr Betrag nimmt zu, nämlich von v ( = /v/ ) auf v' ( = /v'/ ). Die Beschleunigung a war definiert als a = Δv/Δt, wenn die Geschwindigkeitsänderung Δv in der Zeit Δt passierte. Zum Geschwindigkeitsvektor v muss ein gleichgerichteter Vektor der Geschwindigkeitsänderung Δtv hinzugefügt werden, damit sich der Geschwindigkeitsvektor v' ergibt: v' = v + Δv. Der Vektor der Geschwindigkeitsänderung Δv ist hier in positive Richtung, also hangabwärts orientiert. Die Beschleunigung a ist positiv. Man sagt, die Beschleunigung erfolgt hier hangabwärts.

(2) Der Gleiter oder Wagen wird jetzt den Hang hinauf gestoßen, entgegengesetzt zur Hangabtriebskraft. Er wird beschleunigt, weil sich seine Geschwindigkeit ändert. Die Hangabtriebskraft sorgt für ein Abbremsen. Zum anfänglichen Geschwindigkeitsvektor v muss jetzt ein entgegengesetzt gerichteter Vektor der Geschwindigkeitsänderung Δv hinzugefügt werden, damit sich der Geschwindigkeitsvektor v' ergibt. Der Vektor der Geschwindigkeitsänderung Δv ist hier in negative Richtung, also hangabwärts orientiert. Die Beschleunigung a ist negativ. Man sagt, die Beschleunigung erfolgt hier hangabwärts, ist hier hangabwärts gerichtet. In beiden Fällen sind der Vektor der Geschwindigkeitsänderung Δv und der Kraftvektor FH gleich gerichtet.

Offenbar zeigt im Beispiel das Vorzeichen der Beschleunigung die Richtung der Geschwindigkeitsänderung an. Im allgemeinen ist der Vektor der Geschwindigkeitsänderung nicht in positive oder negative Koordinatenrichtung orientiert. Dann kann die Beschleunigung nicht durch ein Vorzeichen charakterisiert werden. Man kann aber immer sagen, dass der Vektor der Geschwindigkeitsänderung Δv und der Beschleunigungsvektor a gleichgerichtet sind.

Bei einem horizontalen Wurf ändert sich der Geschwindigkeitsvektor v (die Geschwindigkeit) als Folge der Gewichtskraft FG. Der Anteil der Geschwindigkeit in horizontale Richtung bleibt unverändert, weil es keinen horizontalen Kraftanteil gibt. Es gibt hingegen eine Geschwindigkeitsänderung in Richtung der Gewichtskraft, also in vertikale Richtung: Der fallende Körper wird in vertikale Richtung (senkrecht nach unten) beschleunigt.

Du siehst also ein:

(1)   Der Vektor der Geschwindigkeitsänderung Δv als Folge einer Kraft F ist gleichgerichtet mit dem Vektor der Beschleunigung a.

Es gilt wie in den Zeichnungen sogar allgemein:

(2)   Kraftvektor F, Vektor der Geschwindigkeitsänderung Δv und Vektor der Beschleunigung a sind gleichgerichtet.

Es ist also sehr nützlich, wenn du dir überlegst: Welche Richtung hat die Kraft? Dann erfolgt eine gleichgerichtete Geschwindigkeitsänderung. Und auch der Beschleunigungsvektor ist gleich gerichtet.

Für eine eindimensionale Bewegung hattest du a = Δv/Δt kennen gelernt. a war dort die Steigung des t-v-Diagramms. Die Beschleunigung längs einer Geraden war also definiert als Geschwindigkeitsänderung pro Zeitabschnitt.

Als Zwischenschritt ist es sicher hilfreich für dich, wenn du dir in allen Fällen vorstellst, dass der Beschleunigungsvektor so etwas wie der Vektor der Geschwindigkeitsänderung Δv pro Zeitabschnitt ist: a = Δv/Δt. Dem entspricht ja gerade die Aussage, dass die Vektoren a und Δv proportional und damit gleichgerichtet sind.

G Näheres zur Beschleunigung a bei einer eindimensionalen Bewegung

Bei einer eindimensionalen Bewegung (längs einer Geraden) ist dann a die Koordinate vom Beschleunigungsvektor a längs der Bewegungsrichtung,  bezogen auf eine eindeutigen Wahl der positiven Koordinatenrichtung. Deshalb hat das Vorzeichen von a nichts damit zu tun, ob eine schneller oder langsamer werdende Bewegung vorliegt.

Das Vorzeichen von a bei einer eindimensionalen Bewegung weist vielmehr auf die Richtung der Beschleunigung hin.

Eindimensional: Negative Beschleunigung	Beschleunigung in negative Richtung	Das könnte heißen, dass ein sich in positive Richtung bewegender Körper gebremst wird ("Verzögerung").
.	.	Es könnte auch heißen, dass ein sich in negative Richtung bewegender Körper noch schneller wird.
Eindimensional:                 Positive Beschleunigung	Beschleunigung in positive Richtung	Das könnte heißen, dass ein sich in positive Richtung bewegender Körper noch schneller wird.
.	.	Es könnte auch heißen, dass ein sich in negative Richtung bewegender Körper gebremst wird ("Verzögerung").

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Vielfach wird, auch in gängigen Schulbüchern, fälschlich behauptet, eine negative Beschleunigung bedeute immer eine Verzögerung. Du weißt es jetzt besser! Die Behauptung dieser Schulbücher ist nur in 50% der Fälle richtig. In den anderen 50% ist eine negative Beschleunigung mit einem Schnellerwerden verbunden.

Das siehst du auch sehr gut an folgendem Versuch 3. Dabei fährt ein Gleiter auf einer geneigten reibungsarmen Luftkissenfahrbahn den Hang hoch, bleibt stehen und wird dann wieder den Hang hinab beschleunigt. Als Koordinatenursprung wird ein Punkt nahe am unteren Ende der Fahrbahn gewählt, als positive Richtung die Richtung nach oben, entsprechend der zweiten Zeichnung oben. Mit einem Sonarmeter und dem Programm SONAR.EXE werden gleichzeitig Ort x und Geschwindigkeit v bzw. Ort x und Beschleunigung a gemessen. (Es handelt sich um eine eindimensionale Bewegung; x, v und a sind also die Koordinaten der jeweiligen Vektoren.)

Ort x und Geschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Zeit. Der Gleiter wurde offenbar mit großer Geschwindigkeit nach oben geschossen. Dann nahm seine Geschwindigkeit bis zum Stillstand (Scheitel im t-x-Diagramm) ab. Sodann kehrte der Gleiter seine Bewegungsrichtung um (bewegte sich also nach unten); deswegen wurde die Geschwindigkeit negativ, wobei ihr Betrag (das Tempo) nach und nach wuchs. Beim Aufprall auf die Prallfeder unten war der Gleiter wieder am schnellsten (wie beim Start) und wurde dann wieder nach oben katapultiert. Während der Abwärtsbewegung wurde die negative Geschwindigkeit immer kleiner, das Tempo immer größer.

Die gleiche Bewegung im t-x- und t-a-Diagramm. Beim Start findet eine sehr große Beschleunigung in positive Richtung statt, also hangaufwärts. Infolge der Hangabtriebskraft, die nach unten wirkt, also in negative Richtung, wird der Gleiter bis zum Stillstand gebremst. Auch dann und danach wirkt die negative Hangabtriebskraft. Deswegen ist auch die Beschleunigung negativ. Es wirkt vor, während und nach dem Stillstand im Umkehrpunkt eine negative Hangabtriebskraft und damit eine negative Beschleunigung. Das sagte auch bereits in der obigen Zeichnung das t-v-Diagramm: Die Geschwindigkeit nahm während der ganzen Bewegungsphase ab. Die Beschleunigung ist die Steigung des t-v-Diagramms, die deshalb also negativ sein muss. Sowohl beim Start als auch kurz vor dem Aufprall auf der Prallfeder ist das Tempo am größten, am Umkehrpunkt 0. Beim Aufstieg ist also die negative Beschleunigung mit einem Langsamerwerden verbunden, bei der Abfahrt mit einem Schnellerwerden. Es sieht so aus, als sei die Beschleunigung während einer solchen Bewegungsphase sogar einigermaßen konstant. Hängt das damit zusammen, dass auch die Hangabtriebskraft konstant ist?

Ähnliche Überlegungen hättest du auch bei der Schwingung eines Federpendels anstellen können. Über die Steigung hängen die Größen x, v und a und die t-x-, t-v- und t-a-Diagramme miteinander zusammen.

H Mit dem Flächenverfahren von der Beschleunigung zur Geschwindigkeitsänderung und zur Ortsänderung. Die Rolle der Anfangsbedingungen

Bei einer gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit konstant. Das t-v-Diagramm ist also eine Parallele zur Zeitachse. Wenn du dir ein Zeitintervall Δt herausgreifst, kannst du mit Δx = v·Δt die Ortsänderung in diesem Zeitintervall berechnen. v·Δt entspricht aber der Rechtecks-Fläche unter dem t-v-Graphen mit den Seitenlängen Δt und v. Wenn du also von der Geschwindigkeit zum Ort am Ende des Zeitintervalls Δt kommen möchtest, nimmst du die Fläche unter dem t-v-Graphen als Maß für die Ortsänderung Δx. Um den Ort x am Ende des Zeitintervalls zu erhalten, brauchst du nur zu der Ortsänderung den Ort x0 zu Beginn des Zeitintervalls, den Anfangsort, hinzu addieren: Δx = v· Δt und x = x0 + Δx x0 ist also der Anfangsort zu Beginn des betrachteten Zeitintervalls. Dieses muss nicht unbedingt zur Zeit 0 beginnen.

Funktioniert dieses Flächenverfahren auch bei beliebigen Bewegungen?

Betrachte eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Start aus der Ruhe. Das Zeitintervall Δt beginne mit t = 0. Die Anfangsgeschwindigkeit v0 - also die Geschwindigkeit zu Beginn des Zeitintervalls - ist dann 0. Versuchsweise wollen wir auch hier das Flächenverfahren einsetzen. Die Fläche unter dem t-v-Graphen ist hier eine Dreiecksfläche mit Grundlinie Δt und Höhe v = a.Δt. Der Fläche entspricht also 1/2·a·Δt2, und das soll versuchsweise die Ortsänderung in diesem Zeitintervall sein: Also Δx = 1/2 · a · Δt 2 Da das Zeitintervall zur Zeit 0 beginnt, können wir statt Δt auch t schreiben, und wenn auch noch der Anfangsort x0 = 0 gewählt wird, erhalten wir    x = 1/2 · a · t2   Wenn das richtig ist, ist der Ort x bei diesen Anfangsbedingungen (x0 = und v0 = 0) proportional zum Quadrat der Zeit t. Also in der doppelten (dreifachen, ... ) Zeit wird der 4-fache (9-fache, ... ) Ort x erreicht.

I Bestätigung und t-x-Gesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Ein Demonstrationsversuch auf der Luftkissenfahrbahn oder ein Schülerversuch mittels Handstoppen  bestätigt die quadratische Gesetzmäßigkeit. Wir wollen dies als doppeltes Ergebnis nehmen:

1. Das Flächenverfahren funktioniert, sogar ganz allgemein.

2. Bei den speziellen Anfangsbedingungen  x₀ = und v₀ = 0 gilt die quadratische Gesetzmäßigkeit

x = 1/2 · a · t2

Z.B. mit a = 1 m/s² ergibt sich für den erreichten Ort x folgende Tabelle:

t in s	x in m	v in m/s	"Sekundenweg" in m
0	0	0	0
1	0,5	1	0,5
2	2	2	1,5
3	4,5	3	2,5
4	?	4	?
5	?	?	?

Der t-x-Graph ist der Zweig einer Parabel, der t-v-Graph eine Ursprungsgerade.

J Auch bei allgemeinen Anfangsbedingungen (1) liefert das Flächenverfahren die richtige Gesetzmäßigkeit, wie sich ebenfalls in einem Experiment überprüfen ließe.

Aufgabe: Zeige, dass sich für die Anfangsgeschwindigkeit v0 im Zeitintervall Δt die Ortsänderung Δx = v0·Δt + 1/2·a·Δt 2 ergibt. Dann erhält man für den Ort x am Ende des Zeitintervalls mit dem Anfangsort x0:       x = x0 + v0·Δt + 1/2·a·Δt 2

K Dasselbe Ergebnis für allgemeine Anfangsbedingungen (2) erhältst du eine Spur einfacher mit folgender Überlegung:

Zunächst sei das Koordinatensystem S' auf einem Wagen  befestigt. Bewegt sich ein Körper K mit konstanter Beschleunigung a in diesem System S' mit Start aus der Ruhe am Koordinatenursprung A' , erhältst du für die Ortskoordinate x' des Körpers K zur Zeit t die einfache Gesetzmäßigkeit x' = 1/2·a·t2 Bewegt sich der Wagen mit dem auf ihm befestigten Koordinatensystem S' jetzt aber in einem Koordinatensystem S mit konstanter Geschwindigkeit v0, bewegt sich A' gemäß v0.t. Die Koordinate des Körpers K in diesem System S ist also x = v0·t + x'. Eventuell kommt noch x0 hinzu, wenn sich A' zur Zeit t = 0 im Koordinatensystem S am Ort x = x0 befand. Also:        x = x0 + v0·t + 1/2·a·t2     Statt t könntest du auch wieder einen Zeitabschnitt Δt einsetzen, wenn der Zeitabschnitt nicht mit t = 0 beginnt:        x = x0 + v0·Δt + 1/2·a·Δt2     (Umgekehrt, wenn der Zeitabschnitt zur Zeit t = 0 beginnt, kannst du statt  Δt wieder t einsetzen.). Während im System S' für die Geschwindigkeit v' = a·t gilt, kommt durch die gleichförmige Bewegung des Koordinatenursprungs A' noch einmal v0 hinzu, also:        v = v0 + a·t     bzw.       v = v0 + a·Δt

Zur Beschreibung einer beschleunigten Bewegung braucht man für jede Koordinatenrichtung 2 Anfangsbedingungen: Anfangsort x0 und Anfangsgeschwindigkeit v0.

^*) durch die "Zeitmittengeschwindigkeit"

In das Konzept dieses Kapitels flossen auch Anregungen ein, die ich vor langer Zeit einmal durch Prof. Heuer erfahren habe.

(zuletzt aktualisiert 2013)

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