Was hat der ARDUINO mit der Selbstinduktion zu tun?

Das Gesetz der Selbstinduktion (U_ind = - L·ΔI/Δt in einfachen Fällen -  U_ind  prop. zur "Änderungsgeschwindigkeit der Stromstärke") soll im Experiment nachgewiesen werden. Statt "Änderungsgeschwindigkeit der Stromstärke" ΔI/Δt kann man auch sagen: Steigung der t-I-Funktion. Der Mikroprozessorbaustein ARDUINO wird dabei eingesetzt, um - z.B. im Schülerversuch - die Stromstärke und den resultierenden Spannungsverlauf zu registrieren und das Gesetz der Selbstinduktion dem Experiment zu entnehmen, bzw. die Induktivität sinnvoll zu definieren. Die Messwerte werden dabei aus dem Arduino eigenen "Seriellen Monitor" kopiert und - nach Vereinbarung eines Kommas als Trennzeichen zwischen den einzelnen Messwerten - in ein Tabellenkalkulationsprogramm (TBK) übertragen, wo Graphen angelegt werden. Der besondere Vorteil des Vorgehens besteht darin, dass die Messwerte im TBK weiter verarbeitet werden können. So kann dort die Steigung der t-I-Funktion ermittelt und ebenfalls graphisch dargestellt werden. Ein dI/dt-U_ind-Graph demonstriert eindringlich die Proportionalität; die Proportionalitätskonstante wird als Induktivität L definiert.

Ziel der Untersuchung von Ein- und Ausschaltvorgängen im Schülerversuch

Möglichst im Schülerversuch sollen Ein- und Ausschaltvorgänge an einer Spule im Gleichstromkreis untersucht werden. Über einen Taster wird der Spule Energie aus einer Batterie zugeführt. Eine geeignete Schaltung dafür ist die "Grundschaltung" (auch Abb. 1) mit den Widerständen R₁ und R₂. Der ARDUINO stellt eine preiswerte Möglichkeit bereit, den Spulenstrom (und evtl. auch die Induktionsspannung zu messen). Es wird z.B. eine billige Schülerversuchsspule verwendet mit relativ hoher Induktivität (ab L = 0,1 H) und sehr kleinem Innenwiderstand (ab R = 1,5 Ω). Sie hat auf dem gleichen Ferritkern zwei identische Wicklungen. Wegen der im Stromkreis eingebauten Widerstände R₁ und R₂ haben I und U_ind i.A. exponentielle Zeitabhängigkeiten, die üblicherweise theoretisch nicht ganz einfach, aber auf interessante Weise erfasst werden.

Von der Theorie sind für die Schule besonders vier Grundprinzipien wichtig: das Gesetz der Spule (Selbstinduktionsgesetz), die Spannungsbilanz, die Tatsache, dass die Stromstärke sich stetig verhält, also "keine Sprünge macht" und Folgerungen aus dem stationären Strom (Spitzenwerte).

Für den Ausschaltvorgang erhält man eindeutige Verhältnisse nur, wenn in der Grundschaltung ein endlicher Widerstand R₂ vorhanden ist. Weil das vielfach übersehen wird, findet man in der Literatur, in offiziellen Musteraufgaben und in so genannten "Erklärvideos" oft falsche Behauptungen, die belegen, dass die Autoren den Sachverhalt nicht verstanden haben.

Die Stromstärke bei Ein-/Ausschaltvorgängen könnte man auch besonders einfach mit einem Oszilloskop oder Speicheroszilloskop im Demonstrationsversuch untersuchen. Im Unterschied dazu hat man bei Verwendung des ARDUINO die Möglichkeit, die Charakteristika sogar im Schülerversuch zu gewinnen und die digital erhaltenen Daten weiter zu verarbeiten, um z.B. Gesetzmäßigkeiten abzulesen, wie Steigungen oder das exponentielle Verhalten.

Im Konzept des "forschenden Unterrichts" haben Schülerversuche neben der Plenumsarbeit eine wichtige Funktion.

Der Versuch ist eine Modifikation der Versuche zu Ein-/Ausschaltvorgängen. Er ist einfacher als der in Arduino und Selbstinduktion I beschriebene, hat aber auch seine Tücken.

Der Umgang mit dem ARDUINO ist relativ leicht zu lernen; das habe ich anderswo beschrieben.

Die Mess-Schaltung für den Schülerversuch

Abb. 1: "Grundschaltung", im SV mit den Daten: L = 0,1 H, R1 = R2 = 100 Ω, UB = 1,5 V - 5 V. Für die Schülerversuchsspule mit L = 0,1 H (Ri = 1,5 Ω; oft vernachlässigbar) und mit R1 = R = 100 Ω erhalten Sie in guter Näherung T = L/R1 = 1 ms (für den Einschaltvorgang) bzw. T' = L/(R1+ R2) = 0,5 ms (für den Ausschaltvorgang). Das Messinterface muss also schnelle Messungen zulassen,  ca. alle 0,11 ms  beim verwendeten Programm für den Arduino.

Gemessen werden soll die Stromstärke I durch die (nichtnegative) Spannung U₀ (I = U₀/R₁; in Abb. 4: blau). Als nichtnegative Spannung kann U₀ direkt (ohne Pegelwandler) an einen der Messeingänge des ARDUINO-Prozessors gelegt werden (gegen Masse = Ground), wenn die Grenzwerte des Prozessors eingehalten werden. Ich verwende den Analogeingang A0: U₀ an PIN19, Masse an PIN04.

Um dagegen die Induktionsspannung (in Abb. 3: rot) mit ihren zwei Vorzeichen mit dem Arduino direkt zu messen, braucht man auf einen  Pegelwandler, der die Spannungswerte in den positiven Bereich verschiebt, indem eine konstante Gleichspannung hinzu addiert wird.

Hier bewährt sich die zweite Wicklung. Denn wenn Selbstinduktion der Grund für das interessante Verhalten der Stromstärke ist, die auf einer Änderung des magnetischen Flusses in der Spule ist, muss an der Sekundärspule eine Induktionsspannung von gleichem Betrag wie an der Primärspule entstehen, weil beide Wicklungen vom gleichen Fluss durchsetzt sind. Im Versuch soll der Zusammenhang zwischen der Stromstärke in der Spule und der Selbstinduktionsspannung ermittelt werden, die beide ja zeitabhängig sind.

Wenn man etwas mehr über die wirksamen Gesetzmäßigkeiten weiß, kann man U_ind auch mit der Spannungsbilanz berechnen. Nur wenn R_i wirklich vernachlässigt werden kann, gilt: U_B + U_ind = U₀, also U_ind = U₀ - U_B für den Einschaltvorgang bzw. U_ind = U₀ (R₁ + R₂)/R₁für den Ausschaltvorgang. Andernfalls setzt man den Spannungsabfall an R_i mit U_ind = U₀ (R₁ + R_i)/R₁- U_B  für den Einschaltvorgang bzw. U_ind = U₀  (R₁+R₂+R_i)/R₁ für den Ausschaltvorgang in Rechnung. Die Kalkulationen können (später) im Tabellenkalkulationsprogramm vorgenommen werden, in dem auch die Messwerte des ARDUINO graphisch aufbereitet werden.

Realisierung auf der Leybold-Rastersteckplatte, vor allem für Schülerversuche

Abb. 2: DINA4-Auflageblatt für das Leybold-Rastersteckplatte zum sicheren Aufbau der Mess-Schaltung durch die Schüler im SV. Die Sch stecken die Bauteile durch das aufgelegte Blatt hindurch. Die rot gezeichneten "Inseln" (in sich leitend) werden untereinander durch Bauteile oder leitende Verbindungsstecker ("Doppelstriche") verbunden. Die 2. Wicklung der Schülerversuchsspule kann bei geeigneter Beschaltung zu erhöhter Induktivität führen oder zur direkten Messung der Induktionsspannung herangezogen werden, wenn die Induktionsspannung durch einen Pegelwandler in den nichtnegativen Bereich verschoben wird. Andernfalls droht Zerstörung des ARDUINO.

Abb. 2a: Beschaltung für 4-fache Induktivität. Dann steht allerdings die zweite Wicklung nicht mehr zur Messung der Induktionsspannung zur Verfügung. Bei einer Wicklung ergibt sich die Induktivität L = 0,1 H, bei der Beschaltung oben L = 0,4 H. Mit 2 SV-Spulen in Reihe kann man bis zu 0,8 H erzielen.

Mit dem ARDUINO werden hier also Stromstärke und Induktionsspannung gemessen. Dazu dienen die gleichen Sketches wie für Ein-/Ausschaltvorgänge an der Spule, allerdings auf 2-kanalige Messung erweitert Ein-/Ausschaltvorgänge an der Spule II . Die Messwerte werden in den Arduino eigenen Seriellen Monitor eingelesen, von dem aus auch der Sketch gestartet wird. Sie werden kopiert und - nach Vereinbarung eines Kommas als Trennzeichen zwischen zwei Daten - in das Tabellenkalkulationsprogramm übertragen. Im TBK wird nun die Zeitableitung der Stromstärke ermittelt (vorbereitet in ODS- oder XLS-Format). Zwei Graphen zeigen die Ergebnisse: 1. mit Stromstärke und Induktionsspannung in Abhängigkeit von der Zeit, und 2. die Induktionsspannung in Abhängigkeit von der Ableitung der Stromstärke.

Wenn Sie der Meinung sind, dass die Sch nicht viel davon haben, wenn das TBK so schnell den dI/dt-U_ind-Graphen zeichnet, können Sie diesen Graphen ja mit wenigen Werten der Tabelle von den Sch mit der Hand zeichnen lassen. Dann "springt" die Proportionalität vielleicht eher "ins Auge". Den Wert der Induktivität sollten die Sch auf jeden Fall mit den Koordinaten des Ursprungs und eines weiteren Punktes auf dem Graphen ermitteln.

Im 1. Diagramm werden die exponentiellen Zeitabhängigkeiten dargestellt, im 2. und 3. Diagramm das Gesetz der Selbstinduktion für den Einschalt- und den Ausschaltvorgang: U_ind prop. dI/dt. Die Proportionalitätskonstante L wird als Induktivität definiert.

Um aus den gemessenen I-Werten eine "Änderungsgeschwindigkeit der Stromstärke" (Ableitung dI/dt) möglichst genau zu ermitteln, wird im TBK-Programm durch 3 Messpunkte eine Parabel gelegt, deren Ableitung als gemessenes dI/dt interpretiert wird.

Messergebnisse mit dem ARDUINO

Abb. 3: Zeitverlauf von Stromstärke (blau) und (Selbst-)Induktionsspannung (rot) beim Ein-/Ausschaltvorgang, mittels der Schülerversuchsspule gemessen. Man erkennt die Spitzenwerte:  Induktionsspannung beim Einschalten = negative Batteriespannung, Induktionsspannung beim Ausschalten = doppelte Batteriespannung, weil R2 doppelt so groß wie R1. Beide Spitzenwerte sind vom Arduino errechnet und zu den gemessenen hinzufügt.

Abb. 4: (Selbst-)Induktionsspannung in Abhängigkeit von der "Änderungsgeschwindigkeit der Stromstärke" dI/dt beim Ausschaltvorgang, mittels der Schülerversuchsspule gemessen. Aus dem Graphen: Uind/(ΔI/Δt) = 265/2850 mV·s/mA = 0,092 V·s/A = 0,092 H

Abb. 5: (Selbst-)Induktionsspannung in Abhängigkeit von der "Änderungsgeschwindigkeit der Stromstärke" dI/dt beim Ausschaltvorgang, mittels der Schülerversuchsspule gemessen. Die Ursprungsgerade kann man halbwegs sicher entnehmen. In beiden Fällen sollte sich allerdings derselbe konstante Wert der Steigung L ergeben. Das ist nicht oder nur grob der Fall (hier: 0,092 H bzw. 0,09 H). Die Steigung stimmt auch mit dem Nennwert der Induktivität nach Herstellerangaben bestenfalls grob überein. Für die Sch genügt eines der Diagramme von Abb. 4 und 5.

Vorgehensweise im Unterricht nach dem Konzept des "Forschenden Unterrichts"

Selbstinduktion ist den Sch vertraut gemacht worden, u.a. mit dem Versuch zum "verzögerten Einschalten der Monsterspule" (630 H) (PL). Deutung als Induktionsvorgang (PL)

SV: Leuchtdiodenversuche (dort Abb. 12) mit der "Grundschaltung" zeigen Stromrichtung beim Ein- und Ausschalten an. Die Sch wundern sich, dass eine LED nie leuchtet ("kaputt?").

PL: Wozu wird in der Grundschaltung R₂ benötigt? Hinweis auf SV "Zündfunke" (dort Abb. 11)

SV: Zeitabhängigkeiten von Stromstärke und Induktionsspannung nach jeweils einmaliger Energiezuführung zur Spule werden mit dem ARDUINO registriert und mit dem TBK graphisch dargestellt.

PL: Sammeln der Ergebnisse:

a) I und  U_ind hängen in komplizierter Weise von der Zeit ab. Möglicherweise steckt eine exponentielle Zeitabhängigkeit dahinter?

b) Beim Einschaltvorgang wird eine solche Spannung induziert, dass der Strom anfänglich auf 0 gehalten wird. Die (Selbst-)Induktionsspannung wirkt als "Gegenspannung" entgegengesetzt zur Batteriespannung U_B. Der Betrag der Induktionsspannung fällt allmählich auf 0 ab, wodurch sie ihre Bremswirkung verliert, so dass der Strom allmählich einen stationären Maximalwert, den Sättigungsstrom, erreicht. Beim Ausschaltvorgang hält eine Spitzenspannung einen kurzzeitig unveränderten Strom durch die Spule, R₁ und R₂ aufrecht, obwohl die Batterie abgetrennt ist. Es handelt sich um eine "Mitspannung". Sie sinkt allmählich auf 0 ab, damit auch der von ihr hervorgerufene Strom. Die Sch könnten vermuten, dass jetzt I und  U_ind proportional zueinander sind.

c) Wenn sich I schnell ändert, hat U_ind großen Betrag. Wenn sich I langsam ändert, hat U_ind kleinen Betrag. Der Zusammenhang der "Änderungsgeschwindigkeit von I" (dI/dt) mit dem Betrag von U_ind soll jetzt untersucht werden.

Die Sch formulieren Hypothesen über den Zusammenhang zwischen U und ΔI/Δt. (Je schneller sich die Spulenstromstärke I ändert, desto größer ist der Betrag der Selbstinduktionsspannung.) Sie ergänzen in einem vorbereiteten Diagramm der TBK den Datenbereich über ein geeignetes Intervall der Messwerte und erhalten so einen ΔI/Δt-U_ind-Graphen, den sie diskutieren.

PL: Formulierung des Ergebnisses: Änderungsgeschwindigkeit der Stromstärke und Selbstinduktionspannung sind zueinander proportional, also |U_i| prop. | ΔI/Δt |. Die Proportionalitätskonstante wird Induktivität L genannt, also |U_i| = L·| ΔI/Δt |.

PL: Theoretische Deutung mit dem Induktionsgesetz: U_ind = - A·ΔB/Δt. Wenn B prop. I => U_ind prop. - ΔI/Δt, oder mit anderen Worten: Wenn B bis auf einen Faktor = I ist, dann ist auch U_ind bis auf einen Faktor =  - ΔI/Δt). Definition der Induktivität L als Proportionalitätskonstante: L = | U_ind / ΔI/Δt | mit der Einheit 1 V·s/A.

PL/HA: Vermischte Aufgaben/Abschätzungen (vgl. mit der Theorie): Qualitative Graphen der Zeitabhängigkeiten von I und U_ind mit den Spitzenwerten der Spannung und den Sättigungswerten der Stromstärke. Ermittlung der Induktivität L der verwendeten Spule.

Wie würden sich die Spitzenwerte der Induktionsspannung mit der Frequenz qualitativ verändern, wenn ein Wechselstrom bestimmter Frequenz und fester Amplitude durch die Spule geschickt wird?

Technische Bemerkungen

1. Wenn im TBK die Induktionsspannung das falsche Vorzeichen hat, sollte die Steckeranschlüsse an der Sekundärwindung der SV-Spule vertauscht werden.

2. Das Schalterprellen lässt sich - besonders beim Einschalten - kaum vermeiden. Die ersten 2 - 4 Messwerte sind also kaum brauchbar.

3. Bei der Zeitauflösung des Arduino von ca. 0,1 ms ist es unwahrscheinlich, dass gerade die Spitzenspannungswerte im "Zeitfenster" der Messung liegen. Sie wird also in der Regel nicht gemessen. Um keinen falschen Eindruck vom Zeitverlauf der Selbstinduktionsspannung zu vermitteln, werden die beiden errechneten Spitzenspannungswerte vom Programm ergänzt.

4. Um das Schalterprellen zu minimieren, sollte der Taster schnell gedrückt, ruhig gehalten und nach ca. 1 - 2 s wieder schnell freigegeben werden. Das Arduino-Programm gibt dazu nähere Anweisungen. Gerade bei den Schaltvorgängen  können Störungen auftreten. Sie können wegdiskutiert werden, oder die Messung wird wiederholt.

5. Die Induktivität der Schülerversuchsspule ist in Realität wohl nicht konstant. Der erwähnte Wert von L = 0,1 H = 0,1 Vs/A ist der vom Hersteller angegeben Nennwert. Insbesondere nahe der Schaltvorgänge scheint sich U_ind/(dI/dt) zu ändern und erst nach ca. 10-20 Messwerten konstant zu werden. Im Tabellenkalkulationsprogramm wurden deshalb geeignete Bereiche von Messdaten ausgewählt, die die Proportionalität von U_ind und Steigung der Stromstärke dI/dt halbwegs glaubhaft erscheinen lassen und die Definition einer Induktivität ermöglichen. Da man solchermaßen ein zweites Mal etwas mogelt, muss man auch damit rechnen, dass man streuende Messwerte für L erhält. Dennoch halte ich diesen Versuch für sehr lehrreich.

6. Die Messwerte, beginnend mit 0,0,0, ... , werden kopiert und in das TBK (ODT-Format bzw. XLS-Format) übertragen, wobei mitgeteilt wird, dass die Daten durch Kommas getrennt sind. So werden die Spalten A bis D ausgefüllt. Die übrigen Spalten sind vorbereitet. Sie sollten nach dem Übertragen der Messwerte in die Spalten A bis D aktualisierte Werte enthalten. Mit ihnen werden die Graphen automatisch ergänzt.

Das Programm prog4a_2k ("sketch")

Das Listing finden Sie hier. Sie brauchen es nur auf dem PC in das Arduino-Fenster (sketches) auf dem PC kopieren, speichern, hochladen und den Seriellen Monitor in der oberen Fensterleiste auf dem PC aufrufen. Mit der RETURN- bzw. ENTER-Taste auf dem PC starten Sie die Messung. Das Listing ist selbsterklärend.

Technische Details zum ARDUINO

Abb. 9: Anschlüsse des Arduino Nano (Draufsicht Vorderseite) Die Sch müssen  bei der Verbindung der rückseitigen Steckerpins mit der Messschaltung im Kopf spiegeln! Hier darf kein Fehler passieren! Die Mess-Schaltung wird über die Pins GND und z.B. A0 (rot) verbunden. Es wird die Verwendung eines "under-shields" mit Pegelwandlern zur Wechselspannungsmessung (Abb. 10) empfohlen (Pin 27 und Pin 4 könnten zur Spannungsversorgung externer Schaltungen dienen, z.B. eines Pegelwandlers (OUT), oder zur Zuführung einer externen Spannung. Zwischen Pin 18 und Pin 4 kann die Referenzspannung für die AD-Wandler gemessen oder auch von außen zugeführt werden.)

Abb. 10: Das "under-shield", aufgebaut auf einer Lochraster-Platine. Es stellt - zusätzlich zu 2 Gleichspannungskanälen - einen 2-kanaligen Pegelwandler zur Wechselspannungsmessung zur Verfügung. Der ARDUINO wird in den grau gezeichneten Sockel gesteckt, der 2-kanalige Operationsverstärker TLC 272 in den achtpolige Sockel. Leiterbahn-Unterbrechungen (Draufsicht) sind links grün markiert. Die Betriebsspannung wird über den ARDUINO aus dem USB-Port bezogen. Mit dem Steckerpaar rechts oben kann sie weiterverwendet werden. Die beiden Steckerpaare (in0 und in2, unten) ermöglichen Wechselspannungsmessungen, die oberen beiden (in1 und in3) nur Gleichspannungsmessungen.