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© Horst Hübel Würzburg 2005 - 2014

Nachweis des Zusammenhangs zwischen spezifischer Energie und Umlaufszeit

Vgl. exakte Herleitung

Bei einer Kreisbahn setzt sich die Gesamtenergie eines umlaufenden Körpers aus potenzieller und kinetischer Energie zusammen. Dabei gilt der Virialsatz: Epot = - 2.Ekin; die kinetische Energie ist schließlich positiv, die potenzielle negativ. Die Gesamtenergie ist also Eges = Epot + Ekin = Epot - 1/2 Epot = 1/2 Epot . Bei einem Bahnradius r ergibt sich also

E = Eges = - G·Ms·m / 2r.

Es ist plausibel, dass bei einer leichten Abweichung von der Kreisbahn zumindestens genähert eine entsprechende Beziehung gilt, wenn der Bahnradius durch die große Halbachse a ersetzt wird.

Die Herleitung zeigt, dass dies auch allgemein bei Kepler-Ellipsen so gilt. Also

E = - G·Ms · m / 2a      

Die spezifische Energie E/m ist damit allein durch die große Halbachse a bestimmt.

Vergleicht man jetzt die spezifische Energie E/m  eines beliebigen Planeten der Masse m mit der spezifischen Energie der Erde Ee/me, so erhält man also

(E/m) / (Ee/me) = ae/a        

und mit dem 3. Kepler-Gesetz

T2 / Te2 = a3 / ae3

Es ergibt sich also mit  ae3 / a3 = Te2 / T2  bzw.   ae / a = Te2/3  /  T2/3  

( E/m ) / ( Ee/me ) = Te2/3  /  T2/3  

Die spezifischen Energien E/m verhalten sich umgekehrt wie die 2/3-Potenzen der Umlaufszeiten.