|
|
Rechentechnik zum elastischen Stoß |
1. Beim vollständig elastischen Stoß gelten der Impuls- und der Energie-Erhaltungssatz. Energie und Impuls sind eigene physikalische Größen, die nur bedingt etwas mit Masse und Geschwindigkeit zu tun haben, sicher aber mit der Translationsinvarianz in der Zeit und im Raum. Dies liegt jedoch ausserhalb der Schulphysik.
2. Um die Schreibarbeit zu vereinfachen, aber auch, um den eigenständigen Charakter der Erhaltungssätze für Energie und Impuls zu betonen, werden die Erhaltungssätze hier mit dem Impuls p formuliert und nicht mit seinem Äquivalent für Körper mit Masse : m.v. Dann gilt also für die kinetische Energie im nichtrelativistischen Fall: Ekin = p2 / 2m.
3. Für die Schule ist es nützlich, die Erhaltungssätze immer im
Dreierschema zu formulieren ("am Anfang", "am Ende", oder
"vorher", "nachher", "vor dem Stoß", "nach dem Stoß". Die Schüler neigen
stattdessen dazu, den Erhaltungssatz als Gleichung aufzufassen: "die
kinetische Energie ist gleich der potentiellen", wobei sie sich häufig
nicht bewusst machen, dass die Energien zu verschiedenen Zeiten gelten.
Das verbaut häufig richtige Ansätze in anderen Fällen.):
| I Gesamt ... "am Anfang": |
| II Gesamt ... "am Ende": |
| III .....-Erhaltungssatz: |
4. Betrachtet werden soll ein linearer zentraler und elastischer Stoß einer Masse M der Geschwindigkeit V auf eine anfänglich ruhende Masse m. Nach dem Stoß sind alle Größen mit einem Strich versehen, alle zur Masse M gehörigen Größen sind durch Großbuchstaben gekennzeichnet, alle zu m gehörenden durch Kleinbuchstaben.
| I Gesamtimpuls am Anfang |
P |
I Gesamtenergie am Anfang |
P2 / 2M |
| II Gesamtimpuls am Ende |
P' + p' |
II Gesamtenergie am Ende |
P'2 / 2M + p'2 / 2m |
| III IES: Impuls- Erhaltungs-Satz |
P = P' + p' |
III EES: Energie- Erhaltungs-Satz |
P2 / 2M = P'2 / 2M + p'2 / 2m |
Gegeben sei P. Dann lässt sich P' durch den IES ausdrücken:
P' = P - p
eingesetzt in den EES ergibt dies:
P2 / 2M = ( P-p' )2 / 2M + p'2 / 2m * )
Mit der binomischen Formel erhält man
0 = - 2Pp' / 2M + p'2/2 ( 1/ M + 1/m)
Nach Multiplikation mit 2M ergibt sich:
0 = p' [ - 2 P + p' ( 1 + x ) ]
wobei
x = M/m
Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen p' = 0 (kein Stoß) und
p' = 2 P / (1+x)
Dies ist als "übertragener Impuls" zu verbalisieren, der proportional zum anfänglichen Impuls P ist und in einer bestimmten Weise vom Massenverhältnis x abhängt.
Daraus ergibt sich "der in M verbliebene Impuls" P' = P - p' = P [ (x - 1) / (x + 1) ].
Diese Herleitung ist wirklich sehr kurz. Für viele Schüler ist es noch schwierig genug, wenn sie bei einem vorgegebenen Massenverhältnis x nun die Geschwindigkeien V' und v' ausrechnen sollen.
5. Es ergeben sich interessante Fragestellungen, die mit Hilfe der Infinitesimalrechnung gelöst werden können: Für welches Massenverhältnis x wird der Impulsübertrag p'/P bzw. der Energieübertrag e'/E maximal? Für den Energieübertrag ergibt sich mit
e' = p'2 /2 m und E = P2 /2M
e'/E = ( p'/P )2 x = 4x / (1+x)2 .
Mit Hilfe der Infinitesimalrechnung ("Minimax"- / Optimierungsaufgabe) für die Funktion f(x) = 4x/(1+x)2 ergibt sich ein absolutes Maximum bei x = M/m = 1, wie es auch physikalisch für gleiche Massen erwartet wurde. Dies ist ein wichtiges Anwendungsbeispiel aus der Kerntechnik im Zusammenhang mit der Auswahl eines geeigneten Moderators im Reaktor: Wenn die atomaren Stoßpartner des Moderators annähernd gleiche Massen haben, erfolgt die Abbremsung der Neutronen in wenigen Stößen.
6. Schüler neigen dazu, den
Energieerhaltungssatz (und den IES entsprechend) als ein Gleichsetzen
von Energien zu sehen ("Die kinetische Energie ist gleich der
Spannenergie"). Obwohl dies als Kurzfassung akzeptabel erscheint, sollte
man doch auf eine Formulierung der Art hinwirken: "die kinetische
Energie am Anfang ist gleich der Spannenergie am Ende", um die
Umwandlung zu betonen.
Vgl. auch Elastische Stöße im Schwerpunktssystem
Vgl. auch Impuls p statt m·v am Beispiel "Ballistisches Pendel"