Eine Poisson-Verteilung liegt vor, wenn bei sehr großen möglichen Teilchenzahlen (Versuchen ) n (n => ∞) die gemessene Teilchenzahl k folgender Verteilung genügt:    P(k) =  Nk e-N/k!   N ist dabei der Erwartungswert für die Teilchenzahl k,  n·P(k) die Anzahl der Fälle, in denen eine Teilchenzahl k auftritt, bei n Versuchen. Die Besonderheit dieser Verteilung ist, dass die mittlere quadratische Abweichung oder Streuung σ in einfacher Weise mit dem Erwartungswert N zusammenhängt:   σ  =   √N

Grob 2/3 aller Werte k sind also in einem Bereich von N - σ   bis N + σ  zu finden (grün). Das ist bemerkenswert: Für jeden beliebigen Eerwartungswert von N können Zählereignisse von 0 bis ∞ auftreten, wenn auch evtl. mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit! Selbst, wenn N = 1 (oder noch kleiner),  kann es manchmal vorkommen, dass z.B. 3 Zählereignisse beobachtet werden!

Eine Poisson-Verteilung für die Teilchenzahlen k (in einem bestimmten Zeitabschnitt) ergibt sich bei der Beschreibung einer Laser-Mode oder eines Atom-Lasers, aber bereits die Zählstatistik eines klassischen elektromagnetischen Felds, das mit einem statistisch ansprechenden Zählers führt zu einer Poisson-Verteilung für die Zahl k der Ansprechereignisse.

Interessant ist das Zeitverhalten, das sich aus der Poisson-Verteilung ergibt (vgl. Nobelvortrag von R.J. Glauber):

Führt man die mittlere Zählrate (Teilchen pro Zeiteinheit) w ein, dann ist der Erwartungswert der Teilchenzahl im Zeitintervall t :  N = w·t. Wir finden also in der Zeit t k Teilchen in n·P(k) Fällen:

P(0;t) = e^-w·t  ist danach proportional zur Wahrscheinlichkeit, dass im Zeitintervall t kein Teilchen (k = 0) nachgewiesen wird. P(1;t) = w·t·e^-w·t  ist proportional zur Wahrscheinlichkeit für den Nachweis genau eines Teilchens und P(2;t) = (w·t)² e^-w·t/2 proportional zur Wahrscheinlichkeit für den Nachweis von genau zwei Teilchen, jeweils im gleichen Zeitintervall t. Das wird unten  nachgewiesen.

Diese Wahrscheinlichkeiten hängen offenbar nur von der Teilchenzahl, der mittleren Zählrate w und der Länge des jeweiligen Zeitintervalls t ab, nicht von der Vorgeschichte, also etwa davon, ob schon vorher ein Teilchen nachgewiesen wurde.^*)

Das soll illustriert werden an der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Situation, dass genau zwei Teilchen nachgewiesen werden sollen in einem Zeitintervall, das formal in zwei beliebige Teile der Längen t und t' aufgeteilt ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist einerseits (A) proportional zu P(2; t+t') = [w·(t+t')]² e^-w·(t+t')/2. Andererseits (B) setzt sich diese Wahrscheinlichkeit zusammen aus 3 unabhängigen Wahrscheinlichkeiten, nämlich, aus der Wahrscheinlichkeit P₁, dass im Zeitintervall t genau zwei Teilchen und danach kein Teilchen nachgewiesen wird, der Wahrscheinlichkeit P₂, dass im Zeitintervall t genau ein Teilchen und im Zeitintervall t' das zweite Teilchen gefunden wird, und der Wahrscheinlichkeit P₃, dass alle 2 Teilchen im Intervall t' gefunden werden.

Nach der zweiten Methode (B), jeweils unter der Annahme, dass die Bemerkung ^*) richtig ist, erhalten wir:

Die Summe ergibt mit der binomischen Formel tatsächlich das erwartete Ergebnis, im Einklang mit der Bemerkung ^*).

Das wird manchmal so formuliert: Die Wahrscheinlichkeit, ein weiteres Teilchen nach einer Zeit t nachzuweisen, ist unabhängig von der Vorgeschichte, oder plakativer: In diesem Fall "hat das System kein Gedächtnis" (über die vorausgehenden Vorgänge). Man sagt auch, "das System habe keine Geschichte". Dieses Verhalten erklärt die Ergebnisse des Hanbury-Brown/Twiss-Versuchs mit Photonen der kohärenten Strahlung.

Die Poisson-Verteilung ergibt sich als Grenzwert einer Binomial-Verteilung mit n => ∞ . Sie setzt voraus, dass ein Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt und das Gegenereignis A/  ("Nicht A") mit der Wahrscheinlichkeit 1-p. Man fragt dabei nach der Wahrscheinlichkeit b(k,n), dass bei einem n-stufigen Experiment das Ereignis A genau k-mal eintritt.

Ganz entsprechend soll jetzt die Wahrscheinlichkeit für den Nachweis eines Teilchens im aufgeteilten Intervall der Länge t+t' überprüft werden. Einerseits wird erwartet:

P(1,t+t') = w·(t+t')·e^-w·(t+t')

Andererseits setzt sich der Vorgang zusammen aus dem Nachweis des einen Teilchens im Intervall t (und keinem in t') und dem Nachweis des einen Teilchens im Intervall t' (und keinem in t), also mit der Bemerkung *):

Die Summe ergibt, wie erwartet, P(1,t+t') und ist wieder im Einklang mit der Bemerkung ^*).

Auch beim Zerfallsgesetz der Radioaktivität liegt eine ähnliche Situation vor. Die mittlere Zählrate w entspricht hier der Aktivität A. Die Anzahl der gemessenen Fälle in einem Zeitintervall t, bei denen sich die Teilchenzahl k ergab, ist Poisson-verteilt (mit dem Erwartungswert N für die gemessene Teilchenzahl):

Nachweis der Poisson-Formel:

Gehen wir zu infinitesimal kleinen Zeitintervallen dt über. Mit der konstanten mittleren Zählrate (Anzahl der Ereignisse pro Zeiteinheit)  w und der Wahrscheinlichkeit P(k;t), dass im Zeitraum t insgesamt k Teilchen gezählt werden, gibt w.dt die Wahrscheinlichkeit an, dass in dt ein Teilchen gezählt wird, und 1 - wdt die Wahrscheinlichkeit, dass in dt kein Teilchen gezählt wird. Daraus  folgen die Beziehungen:

P(0; t + dt) = P(0;t)·(1 - w·dt)       also    P(0;t + dt) - P(0;t) = - P(0;t)·w·dt

P(k;t + dt) = P(k;t)·(1 - w·dt) + P(k-1;t)·w·dt  = P(k;t)  +  [ P (k-1;t) - P(k;t) ]·w·dt , also  

P(k;t + dt) - P(k;t)  = [ P(k-1;t) - P(k;t) ]·w·dt

Durch Bilden der Differenzenquotienten und Übergang zu dt => 0 entsteht ein rekursives System von Differentialgleichungen:

P(0;t)' = -  w·P(0;t)

P(k;t)' = - w·[ P(k;t) - P(k-1;t) ] .  * *)          

Dessen Lösung ist P(k;t) = (w·t)^k ·exp( - w·t) / k!

Nachweis durch vollständige Induktion

1. Schritt

k = 0:     P(0;t)' = -  w·P(0;t) liefert direkt die Lösung  P(0;t) = exp( - w·t) , also  P(0;t) = (w·t)⁰ exp( - w·t) / 0!  =  exp( - w·t) ist offenbar richtig

2. Schritt: Die Lösung sei richtig bis k-1, also P(k-1;t) = (w·t)^{k -1} exp( - w·t) / (k-1)!

3. Schritt: Dann gilt  mit  **) :

also P(k;t)' = - w·P(k;t)  +  w·(w·t)^k-1 exp( - w·t) / (k-1)!

da   die Ableitung von [  (w·t)^k / k! ]    ist    w·(w·t)^{k -1} / (k -1)! , gilt die Formel auch für k,

also   P(k;t) = (w·t)^k exp( -w·t) / k!  ist damit für beliebiges k  bewiesen.

.

Deswegen kann man zwar einen Laserstrahl durch Graufilter soweit abschwächen, dass im Mittel N = 1 Photonen nachgewiesen werden, obwohl in gleichen Zeitabschnitten manchmal 0, manchmal 3 oder mehr Photonen erscheinen.

(Zeichensatz geändert 2013)