LEDs als Lichtquellen haben leider den Nachteil, dass sie kein echt monochromatisches Licht ausstrahlen, sondern Licht mit einem mehr oder weniger scharfen Maximum bei einer bestimmten Frequenz.
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Über den Photoeffekt in
Schule und Praktikum - |
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Einige Dinge zum Photoeffekt in der Schule aus einer Veröffentlichung aus dem Jahr 1987 [1] möchte ich hier in Erinnerung rufen, weil sie im Zusammenhang mit einer relativ neuen und intelligenten experimentellen Anordnung der Firma GRS Lehrgeräte KG, Wasserburg, ([2], [3], [4]) wieder aktuell geworden sind.
Während 1987 ein Aspekt war, was man in der Schule lieber nicht
behandeln sollte, steht jetzt eine Auswertungsmethode
im Vordergrund, die für alle schulischen Anordnungen zur Messung der
kinetischen Energie der Photoelektronen beim Photoeffekt nützlich
ist. Sie stützt sich auf ein einfaches festkörperphysikalisches Modell für
den Austritt von Photoelektronen aus der Photokathode. Die
Modellbetrachtung stammt von Fowler und DuBridge (1931, [6],
[9] ) und wurde im erwähnten Aufsatz für Kollegen noch einmal
zusammengestellt.
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Die Anordnung von GRS Lehrmittel KG, Wasserburg, eingesetzt an
der Deutschen Schule Algarve (Silves, Portugal) LEDs als Lichtquellen haben leider den Nachteil, dass sie kein echt monochromatisches Licht ausstrahlen, sondern Licht mit einem mehr oder weniger scharfen Maximum bei einer bestimmten Frequenz. |
| u |
Das Modell nach Fowler und DuBridge ([6], [9] )
Dagegen Berücksichtigung
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Das ist das Energiebandschema nach dem verwendeten Modell. Alle
Energien werden gegenüber der Fermienergie gerechnet. Die Breite
des Leitungsbands ist 2·D. Es sei jedoch nur halb besetzt, am
absoluten Temperaturnullpunkt gerade bis zur Fermikante EF.
Durch ein Photon mit der Energie Eph wird ein Elektron
der Energie E abgelöst (wozu mindestens die Ablösearbeit W0
nötig ist) und noch beschleunigt, wobei es die kinetische Energie
Ekin aufnimmt.
Die kinetische Energie des abgelösten Elektrons wird aufgespalten in einen Anteil für die Bewegung senkrecht zur Kathodenoberfläche E⊥ (^ oder ⊥ bedeutet senkrecht) und einen Anteil E// parallel zu dieser. E// enthält wiederum Anteile für die Bewegung in y-Richtung und in z-Richtung mit Impulsen py und pz. Insgesamt gilt: Ekin = (p⊥2 + py2 + pz2)/2m = E⊥ + E// p⊥ ist wieder der Impulsanteil senkrecht zur Kathodenoberfläche. Die Bremsspannung U hat nur Einfluss auf E⊥. In E// stecken die vielen Möglichkeiten der Bewegung parallel zur Kathodenoberfläche. Sie beschreibt "schrägen Austritt". Im Experiment wird die Spannung U gesucht (Um), bei der die am absoluten Temperaturnullpunkt schnellsten Photoelektronen gerade ihren Anteil E⊥ verlieren. |
Bei endlichen Temperaturen ist die Situation völlig anders: Gemäß der Fermi-Verteilung von Elektronen in Metallen werden Elektronen über die Fermikante EF "hinweg gedampft" . Es gibt es dann auch Elektronen, die Zustände oberhalb der Fermikante EF besetzen. Typischerweise liegt der Hauptteil der so beteiligten Elektronen in einer Breite ß-1 = kBT um die Fermikante EF , wenn kB die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur ist. Es gibt aber auch Elektronen, die sehr viel höhere Energie haben. Wir wollen sie später in einem Bereich bis m/ß berücksichtigen, wobei m eine große natürliche Zahl ist. Beim Fotoeffekt kann das Photon dem abgelösten Photoelektron u.U. eine sehr viel höhere kinetische Energie mitgeben. Das wird nur ein kleiner Bruchteil der beteiligten Elektronen sein. Um sie zum Stillstand abzubremsen wird eine höhere Bremsspannung U benötigt als beim absoluten Temperaturnullpunkt.
Es soll jetzt die Anzahl der (abgelösten) Photoelektronen pro Volumeneinheit berechnet werden, wenn monochromatische Photonen der Energie Eph auf die Kathode fallen. Die Ablösung erfolge mit einer konstanten Quantenausbeute α.
Elektronen mit einheitlicher Impulskomponente p⊥ unterscheiden sich durch die Impulse p// und die Energiestufe E des Leitungsbands, aus der sie kommen. Es gilt der Energieerhaltungssatz:
(1) Eph = W0 - E + E⊥ + E//, also E = W0 + E⊥ + E// - Eph
Die Zahl der Photoelektronen pro Volumeneinheit in den Impulsintervallen dp⊥ , dpy und dpz (p//2 = py 2+ pz2) ist mit dem Phasenraumfaktor
2/h3 · dp⊥ · dpy · dpz
und dem Planckschen Wirkungsquant h:
(2) 2α/h3 · f(E) · dp⊥ · dpy · dpz.
f(E) = (l + eßE)-1 ist dabei die Fermifunktion, wobei ß-1= kBT ist mit der Boltzmann-Konstanten kB und der absoluten Temperatur T. Die Gesamtzahl der Photoelektronen pro Volumeneinheit mit Impulsen p⊥ im Intervall dp⊥ erhält man durch Integration über die Impulse p//:
Das "rechteckige Flächenelement" dpy · dpz wird durch ein "kreisringförmiges" ersetzt: 2·π·p//·dp// , so dass nur mehr eine Integrationsvariable verbleibt:
| ∞ | ||
| (3) n(Eph, p⊥ ) · dp⊥ = 4mπα/h3 { | ∫ 2·π·p//·dp// [ 1 + a exp (ßE//) ]-1 } | · dp⊥ |
| 0 |
wobei
a = exp [ ß(W0 + E⊥ - Eph )]
Die Integration entspricht der Berücksichtigung aller Geschwindigkeits-/Impulskomponenten für "schrägen Austritt" aus der Kathode. In der oberen Grenze steckt eine wohl recht brauchbare Näherung.
Die Impulsverteilung der Photoelektronen soll zunächst am absoluten Temperaturnullpunkt untersucht werden. Das ist sogar elementar zu verstehen. Dann sind nur Zustände unter der Fermienergie EF = 0 besetzt, also
(4) E = W0 + E⊥ + E// - Eph <= 0
und damit
(4') E// <= Eph - W0 - E⊥
Mit dE// = 1/m · p// · dp// erhalten wir also
| Eph - W0 - E⊥ | ||
| (5) n(Eph,p⊥ ) · dp⊥ = 4mπα/h3 { | ∫ dE// } | · dp⊥ |
| 0 |
= 4mπα/h3 { Eph - W0 - E⊥ } · dp⊥ , solange E⊥ <= Eph - W0.
Das Ergebnis ist in Abb. 2 durch die Geraden in Abhängigkeit von der Energie E⊥ dargestellt.
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Am Energieniveauschema Abb. 3 lässt es sich leicht deuten bzw. elementar herleiten:
Für festen Impuls p⊥ (feste Energie E⊥) tragen viele (Eph, p//) bei. Ihre Zahl ist allein durch die Zustandsdichte für E// und den maximalen Energiebereich Eph - W0 - E⊥ der beitragenden Leitungsbandzustände bestimmt. Bei konstanter Zustandsdichte für E//, wie in diesem Modell, ist ihre Zahl proportional zum maximalen Energiebereich Eph -W0- E⊥ (Abb. 3). Tiefere Energien erlauben keine Übergange zu einem bestimmten E⊥ durch die Photonenenergie Eph .
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Die Photoelektronen mit E⊥ ca. 0 kommen bei einer festen Photonenenergie am tiefsten aus dem Leitungsband, Photoelektronen mit maximaler kinetischer Energie E⊥ kommen (bei T = 0) von der Fermikante. Bei genaueren Rechnungen wäre u. U. die Zustandsdichte des realen Kristalls zu berücksichtigen, was ein Abrunden der n(Eph, p⊥)-Graphen bei E⊥= 0 bewirken könnte. Das Photoelektronen-Spektrum hat für negative Energien E⊥ keinen Sinn und muß deshalb bei E⊥ = 0 abbrechen (Abb. 2)
Für endliche Temperaturen erhält man (Anhang 1 ):
(6) n(Eph, p⊥ ) · dp⊥ = 4mπα/h3 · 1/ß · ln { 1 + exp[ ß (Eph - W0 - E⊥) ] } · dp⊥ (ln natürlicher Logarithmus)
Für Eph - W0 - E⊥ >> ß-1 = kBT ist die 1 vernachlässigbar und es ergibt sich wieder das T = 0 - Verhalten:
(6') n(Eph, p⊥ ) · dp⊥ = 4mπα/h3 · (Eph - W0 - E⊥) · dp⊥
Das wird insbesondere bei kleinen Energien E⊥ erfüllt sein. Dagegen sind bei T > 0 Elektronen über die frühere Grenzenergie EF - W0 "hinweg gedampft" worden (Abb. 2).
n(Eph, p⊥) ist die Zahl der Elektronen pro Impulsintervall und Volumenheinheit außerhalb der Kathode. Die Zahl der Elektronen pro Zeiteinheit (dN/dt = N• ) mit Geschwindigkeiten v⊥ im Intervall ∆v⊥, die durch die Oberfläche A der Kathode hindurchtreten, ist zusätzlich noch proportional zur Geschwindigkeit und zur Breite des Geschwindigkeits- bzw. Impulsintervalls m·∆v⊥:
(7) N•(Eph, v⊥) = n(Eph, p⊥) · v⊥· A · m · ∆v⊥
Das Produkt v⊥ · ∆v⊥ ist aber dem Energieintervall ∆E⊥ proportional:
(7') m · v⊥ · ∆v⊥ = ∆E⊥
also:
(7") N•(Eph, v⊥) = n(Eph, p⊥) · A · ∆E⊥
n(Eph, p⊥) läßt sich deshalb neu deuten als Maß für die Anzahl der Elektronen pro Zeit- und Energieeinheit und pro Flächeneinheit der Kathode, die mit Energien um E⊥ im Energieintervall ∆E⊥ durch die Kathode austreten, also als das "Energiespektrum". Die Modellrechnung dazu zeigt Abb. 2 .
Um den Elektronenstrom zu erhalten, wird mit der Elementarladung e multipliziert und über alle Energien E⊥ integriert, die größer als e · U sind (Elektronen mit E⊥ <= e·U können nicht gegen die Gegenspannung U anlaufen):
| Eph - W0 | + m/ß | |
| (8) I(Eph) = e· A· | ∫ dE⊥ | · n(Eph, p⊥) |
| e·U |
Die obere Grenze ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz:
(8') E⊥ <= Eph - W0 + m/ß wobei m als natürliche Zahl gewählt wird, z.B. m = 10; dann wäre noch 10-fache thermische Energie der Elektronen im Leitungsband beteiligt.
Am absoluten Temperaturnullpunkt (m/ß = 0) erhält man
| Eph-W0 | ||
| (9) I(Eph) prop. e· A· | ∫ dE⊥ | · (Eph - W0 - E⊥) |
| e·U |
also
(10) I(Eph) prop. (Eph-W0 - e·U)2 / 2
Bei T = 0 ist also der Photostrom eine quadratische Funktion der Bremsspannung U. Danach verschwindet der Photoelektronen-Strom bei e·U = Eph-W0. Die entsprechende Gegenspannung heißt Um. Will man Um aus dem Graphen entnehmen, muss man mit dem schleifenden Eintritt des Graphen in die Nullstelle kämpfen. Das wird vermieden bei der Auftragung der Wurzel des Photostromes gegen U (Abb. 4). In diesem Fall ist die Lage von e·Um = Eph - W0 sehr genau durch Extrapolation aus dem Bereich größerer Spannungen U zu bestimmen.
Bei endlichen Temperaturen kann die Integration nach einer Reihenentwicklung geschlossen durchgeführt werden. Man erhält (Anhang 2) mit der Abkürzung Um = (Eph-W0 )/e:
(11) I(Eph) prop. F[e· (Um - U)· ß]
wobei mit x = e· (Um - U)· ß für sehr großes m:
| ( ex - e2x / 22 + e3x / 32 - e4x / 42 + - .... ) | für x <=0 | ||
| (12) F(x) = | |||
| = x2/2 - ( e-x + e-2x / 4 - 1/9 e-3x / 9 + e4x / 42 + - .... ) + π2/6 | für x >= 0 |
e· (Um - U) ist im interessierenden Bereich in der Größenordnung von 1 eV, kBT ca. 0,026 eV bei 300 K. x ist also positiv und sehr viel größer als 1. Bei großen Photoströmen (bei solchen positiven Werten x) überwiegt das quadratische Glied, in Übereinstimmung mit dem T = 0 -Verhalten. Abb. 4 zeigt die Abhängigkeit des Photostroms bzw. seiner Wurzel von der Gegenspannung am absoluten Temperaturnullpunkt und bei T = 300 K. Deutlich ist erkennbar, dass bereits ohne Berücksichtigung weiterer Fehlerquellen bei endlichen Temperaturen der Photostrom nie verschwindet. Wächst U weit über Um hinaus, strebt also x im Extremfall gegen - unendlich, ist die erste Reihenentwicklung anzuwenden. Dabei strebt der Fotostrom bzw. F(x) gegen 0, wie es sein muss.
[Es gilt also nach beiden Reihenentwicklungen wegen 1 - 1/22 + 1/32 -+ ... = π2/12 : F(0) = π2/12. Das Verhalten bei T = 0 ist hier nicht so einfach zu sehen. Wenn T gegen 0 strebt, strebt ß = (kBT)-1 gegen Unendlich, ebenso die Größe x für jede positive Differenz Um - U. Erst wenn dieser Grenzübergang in Gl. (8) vollzogen ist, sollte der Grenzübergang Um - U gegen 0 durchgeführt werden. Im Anhang kann man dies nachvollziehen, wenn man m = 0 setzt (keine Elektronen oberhalb der Fermikante).]
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Vom Energiespektrum (Zahl der Photoelektronen pro Zeiteinheit und Energieintervall) ist das Geschwindigkeitsspektrum deutlich zu unterscheiden (Zahl der Elektronen pro Zeiteinheit und Geschwindigkeitsintervall). Mit Gleichung (7) und (8) erhalten wir
(13) N•(Eph, v⊥) / ∆v⊥ = n(Eph, p⊥) · v⊥· A · m
Bei T = 0 gilt Folgendes: Wenn v⊥ ca. 0 wächst das Geschwindigkeitsspektrum annähernd linear mit v⊥ und fällt nach Erreichen eines Maximums bei einer Maximalgeschwindigkeit auf Null ab (Abb. 6).
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Nach (13) unterscheiden sich Energiespektrum und Geschwindigkeitsspektrum
mathematisch durch die unterschiedlichen Variablen auf der
horizontalen Achse und durch den Faktor v⊥.
Abbildungen 2 - 6 aus der Originalarbeit [1] . |
Die Wurzelmethode bei Fotozellen
1. Gemessen wird die Photostromstärke I in Abhängigkeit von der Gegenspannung U bei nicht zu kleinen Stromstärken. Trägt man Wurzel(I) in Abhängigkeit von U auf - was man heutzutage wohl mit einem Tabellenkalkulationsprogramm machen würde - , erhält man in vielen Fällen eine fast perfekte Gerade, die man extrapoliert zu I = 0. Dort liest man die Energie E = e · Um (in eV) der "am absoluten Temperaturnullpunkt schnellsten Photoelektronen" ab. Wählt man die Stromstärkewerte mit Hilfe von Quadratzahlen geeignet aus (100 Skt, 81 Skt., 64 Skt., ... ), kann man sich die Tabellenkalkulation ersparen und die Schüler erhalten direkt den linearen Zusammenhang, wenn sie statt dessen die Werte 10, 9, 8, ... für die Wurzel der Stromstärke (in beliebigen Skalenteilen) in die Tabelle eintragen.
2. Die Energie E dieser Photoelektronen in Abhängigkeit von der Frequenz f liefert die übliche "Einstein-Gerade des Fotoeffekts". Allerdings: Gemessen hat man ja wohl nicht die Frequenz f, sondern die Wellenlänge λ des Lichts, z.B. mit einem Beugungsgitter. Zunächst wäre ein E-λ-Graph naheliegend. Der hyperbelartige Verlauf legt die Auftragung von E gegenüber 1/λ nahe, also gegenüber f = c/λ. Das lässt sich mit einem Tabellenkalkulationsprogramm schnell durchführen, wenn man nicht befürchtet, dass vom eigentlichen Thema "Erarbeitung der Einstein-Gleichung des Fotoeffekts" zu stark abgelenkt wird.
Darauf aufbauend wurde für eine spezielle Fotozelle mit ebener Kathode und Anode eine Präzisionsmethode zur h-Bestimmung entwickelt [8].
Wurzelmethode bei der Anordnung von GRS Lehrmittel KG, Wasserburg
In der Anordnung von GRS werden als Lichtquellen (fast) monochromatische superhelle Leuchtdioden verwendet. Per Lichtleiterkabel wird das Licht (ohne aufwändige Optik) zur Fotozelle geleitet. An das Modul der Fotozelle ist ein Messverstärker (Strom-Spannungswandler) für den Photostrom angeschlossen. Man muss nur noch zwei Voltmeter für die Gegenspannung und einem Maß für den Photostrom anschließen. Man hat so einerseits 6 verschiedene Lichtfrequenzen zur Verfügung (die 7. LED ist für andere Versuche vorgesehen; sie liefert weißes Licht); man muss allerdings in Kauf nehmen, dass sich die nicht ganz exakte Monochromasie irgendwo auswirken muss. Die Voraussetzungen für die Modellrechnung sind nicht exakt erfüllt. Dennoch funktioniert's ganz gut: Die folgenden Graphen zeigen das Ergebnis.
[Obwohl auch diese Methode Leuchtdioden verwendet, darf sie nicht mit einer andersartigen Methode [12] verwechselt werden. Die GRS-Methode beruht auf dem Fotoeffekt. Nur die Lichterzeugung verwendet LEDs.]
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Die Einstein-Gerade mit der Anordnung
von GRS Lehrmittel KG, Wasserburg, gemessen an der Deutschen
Schule Algarve (Silves, Portugal)
Aus der Steigung ergibt sich hier h = 3,4·10-15 eVs statt h = 4,137·10-15 eVs (ca. 18% Abweichung), eine für die Schule noch tolerable Abweichung. Vielleicht würden Firmenvertreter genauer messen. |
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| Leuchtdiode L1 (f = 476 THz) Fotostrom f(x) = 0 => Ugrenz = - 7,05/18,79 V = -0,375 V
Weitere gemessene Graphen für andere LEDs hier |
Leuchtdiode L6 (f = 738 THz) Fotostrom f(x) = 0 => Ugrenz = - 18,93/15,1 V = -1,25 V
Hier muss man schon zu sehr kleinen Photoströmen übergehen, um einen geraden Verlauf zu erhalten. Vermutlich liegt das an der nicht ganz idealen Monochromasie der verwendeten Leuchtdiode als Lichtquelle. |
In der Zwischenzeit gibt es eine Rückmeldung aus dem Grundpraktikum einer Hochschule: Dort wurden nach dieser Wurzelmethode Kennlinien (mit Quecksilberdampf-Licht) ausgewertet. Es ergab sich für das Planck'sche Wirkungsquant eine Abweichung vom Literaturwert von 0,5 %!
[1] H. Hübel, Über den Photoeffekt in der Schule - Vergleich mit einem festkörperphysikalischen Modell, Praxis der Naturwissenschaften, Teil Physik, 36 (1987), Heft 6, S. 39
[2] Firmenschrift GRS Lehrgeräte KG: Photoeffekt nach der Auflademethode, 2010
[3] Firmenschrift GRS Lehrgeräte KG: Photoeffekt nach der Gegenspannungsmethode, 2010
[4] Firmenschrift GRS Lehrgeräte KG: Versuchsanleitung Gegenspannungsmethode, 2010
[5] E. W. Schpolski: Atomphysik I (VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften 1965)
[6] W. Jones, N. H. March: Theoretical Solid State Physics, Volume 2 (Wiley Interscience 1973)
[7] H. Thomas: Zeitschrift für Physik, 147 (1957) S. 395
[8] A. M. Knudsen: The photoelectric determination of h/e: A new approach to an old problem, Am. J. Phys., 51 (1983) S. 725
[9] R. H. Fowler: Phys. Rev., 38 (1931) S. 45
[10] H. Simon, R. Suhrmann: Der lichtelektrische Effekt und seine Anwendungen (Springer-Verlag 1958)
[11] F. Langensiepen: Ein verbessertes Verfahren zur Bestimmung des Planckschen Wirkungsquants mit in der Schule vorhandenen Mitteln, Praxis der Naturwissenschaften, Teil Physik, 30 (1981) S. 321
[12] H. Hübel: Leuchtdioden: annähernd monochromatische Lichtquellen für physikalische Schülerversuche zur Gitterbeugung und zum Planckschen Wirkungsquant, Praxis der Naturwissenschaften, Teil Physik, 31 (1982), Heft 3, S. 82
Aus Gleichung (3) erhält man mit der Substitution
y = a + exp ( -ßE//) bzw. dy = -ß exp(-ßE//) dE// , wobei a = exp [ ß(W0 + E⊥ - Eph )]
| ∞ | ||
| ∫ dE// | (1 + a exp (ßE//) )-1 | |
| 0 |
| a | ||
| = - 1/ß | ∫ dy | (exp (-ßE//) + a )-1 |
| 1 + a |
| 1+a | ||
| = 1/ß | ∫ dy | y-1 = 1/ß ln(1 + 1/a) = 1/ß ln { 1 + exp [ -ß(W0 + E⊥ - Eph )] } wie in Gl. (6) |
| a |
Hiermit erhalten wir für (8) bzw. (9):
| Eph - W0 + m/ß | |||
| F(x) = ß | ∫ dE⊥ | ln( 1 + z ) | x = ß (Eph - W0 - e·U ) |
| e·U |
wobei z = 1/a = exp ( ß (Eph - W0 - E⊥) ) und dz = -ß z dE⊥
also
| exp ( ß (Eph - W0 - e·U)) | |||
| F(x) = | ∫ dz / z | ln( 1 + z ) | |
| exp ( - m ) |
| exp (x) | |||
| F(x) = | ∫ dz / z | ln( 1 + z ) | |
| exp ( - m ) |
a) Für x <= 0, wobei z <= 1 gilt die Reihenentwicklung:
| ln ( 1 + z ) | |||
| ------------- | = | 1 - z/2 + z2/3 - z3/4 +- ... | |
| z |
und Integration liefert
| ( 14 ) F(x) = ( ex - e2x / 22 + e3x / 32 - e4x / 42 + - .... ) - (e-m - e-2m /22 + e-3m /32 - e-4m /42 + e-5m /52 - + .... ) |
b) Für x >= 0 , wobei z teilweise <=1 , teilweise z >= 1 :
Wir spalten das Integral auf:
| exp (x) | exp (x) | exp (x) | |||||||||
| F1(x) = | ∫ dz / z | ln( z ( 1 + 1/z )) | = | ∫ dz ln(z) / z | + | ∫ dz ln(1 + 1/z) / z | |||||
| 1 | 1 | 1 |
| x | |||
| für das erste Integral ist dieSubstitution u = ln z möglich. ( du = 1/z dz ). Dann also | ∫ du u | = | x2/2 |
| 0 |
für das zweite Integral mit z >= 1 verwenden wir die Reihenentwicklung: ln ( 1 + 1/z ) = 1/z - 1/2z2 + 1/3z3 - 1/4z4 + - ...Dann also
| exp(x) | exp(x) | |
| ∫ dz ( 1/z2 - 1/2z3 + 1/3z4 - 1/4z5 + - ..) | = | - ( 1/z - 1/(2z)2 + 1/(32z3) - 1/(42z4) + - ... ) | (in den Grenzen von ... ) |
| 1 | 1 |
| = - ( e-x - 1/4 e-2x + 1/9 e-3x -+- .... ) + ( 1 - 1/4 + 1/9 - e-1/16 +- ... ) | = - ( e-x - 1/4 e-2x + 1/9 e-3x -+- .... ) + π2/12 | |
wegen 1 - 1/22 + 1/32 -+ ... = π2/12
Es verbleibt noch der Anteil für z <= 1 . Wir haben wir also noch zu berücksichtigen ( ln ( 1 + z ) = z - z2 /2 + z3 /3 - z4 /4 + - ... )
| 1 | 1 | 1 | |
| ∫ dz /z (ln ( 1 + z ) = | ∫ dz ( 1 - 1/2 z + 1/3z2 - 1/4z3 + - ... ) | = [ z - z2 /4 + z3 /9 - ...] | = π2/12 - (e-m - e-2m /22 + e-3m /32 -e-4m /42 + e-5m /52 - + .... ) |
| exp ( - m ) | exp ( - m ) | exp ( - m ) |
also: F1(x) = x2/2 - ( e-x - 1/4 e-2x + 1/9 e-3x -+ .... ) + π2/12
Insgesamt ergibt sich
F(x) = x2/2 - ( e-x - 1/4 e-2x + 1/9 e-3x -+- .... ) + π2/12 + π2/12 - (e-m - e-2m /22 + e-3m /32 - e-4m /42 + e-5m /52 - + .... )
also
| (15) F(x) = x2/2 + π2/6 - ( e-x - 1/4 e-2x + 1/9 e-3x -+- .... ) - (e-m - e-2m /22 + e-3m /32 - e-4m /42 + e-5m /52 - + .... ) |
Für sehr große m sind die e-m - Terme in (14) und (15) vernachlässigbar.
In beiden Fällen ( x <= 0 und x >= 0 ) ergibt sich als Grenzwert für x => 0 F(x) = π2/12 - (e-m - e-2m /22 + e-3m /32 - e-4m /42 + e-5m /52 - + .... )
bzw., wenn m => ∞ (unendlich): F(0) = π2/12 bei T > 0.
Für T = 0 können wir auch m = 0 wählen, denn dann sind nur Zustände bis zur Fermikante besetzt. Dann verschwindet der Anteil für z <= 1, und es gilt F(x) = x2/2 - ( e-x - 1/4 e-2x + 1/9 e-3x - +- .... ) + π2/12 mit dem Grenzwert F(0) = 0 von beiden Seiten, wie es am absoluten Temperaturnullpunkt erwartet wird.
Einfacher wäre die Rechnung bei im Wesentlichen gleichem Ergebnis gewesen, wenn als obere Grenze in Gl. 8 unendlich gewählt worden wäre.
Ins Netz gestellt: Oktober 2010 / November 2010
( März 2016 : Zeichensatz geändert )